Forum Katolik Indonesia
Sains Katolik => Analisis Abstrak => Topik dimulai oleh: cotrans pada September 05, 2021, 12:38:28 AM
-
\section{Bentuk Eksplisit dari Semua Anggota Grup $U(2)$ dan $SU(2)$}
Grup $U(2)$ berisi semua matriks kompleks $2\times 2$ yang memiliki invers disertai operasi perkalian matriks biasa yang memenuhi kaitan $AA^\dagger = 1$ untuk semua $A \in U(2)$ di mana $1$ adalah matriks identitas perkalian matriks biasa. Grup $SU(2)$ berisi semua anggota grup $U(2)$ yang memiliki determinan $1$.
Matriks $A$ tersebut dapat dituliskan sebagai
\[ A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
di mana $a, b, c, d$ adalah bilangan-bilangan kompleks.
Dari kaitan $AA^\dagger = 1$, kita peroleh
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^* & c^* \\ b^* & d^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
sehingga $|a|^2 + |b|^2 = 1$, $|c|^2 + |d|^2 = 1$, dan $ac^* + bd^* = 0$. Melalui proses parameterisasi, kita peroleh $a = e^{i\alpha}\cos\beta$, $b = e^{i\gamma}\sin\beta$, $c = e^{i\delta}\cos\epsilon$, dan $d = e^{i\phi}\sin\epsilon$ untuk semua $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \phi \in \mathbb{R}$.
Dari kaitan $ac^* + bd^* = 0$, kita peroleh
\[ e^{i(\alpha - \delta)}\cos\beta\cos\epsilon + e^{i(\gamma - \phi)}\sin\beta\sin\epsilon = 0. \]
Tentu saja, haruslah dipenuhi $\alpha - \delta = \gamma - \phi$ alias $\alpha + \phi = \gamma + \delta = \eta \in \mathbb{R}$, sehingga $\delta = \eta - \gamma$ dan $\phi = \eta - \alpha$. Oleh karena itu, kita peroleh
\[ \cos\beta\cos\epsilon + \sin\beta\sin\epsilon = 0 \]
alias
\[ \cos(\beta - \epsilon) = 0 \]
alias
\[ \epsilon = \beta + (2n + 1)\pi/2 \]
untuk semua $n \in \mathbb{Z}$, sehingga $\cos\epsilon = -(-1)^n\sin\beta = \mp\sin\beta$ dan $\sin\beta = (-1)^n\cos\beta = \pm\cos\beta$.
Jadi, bentuk eksplisit dari semua anggota dari grup $U(2)$ adalah
\[ A = \begin{pmatrix} e^{i\alpha}\cos\beta & e^{i\gamma}\sin\beta \\ \mp e^{i(\eta - \gamma)}\sin\beta & \pm e^{i(\eta - \alpha)}\cos\beta \end{pmatrix} \in U(2) \]
untuk semua $\alpha, \beta, \gamma, \eta \in \mathbb{R}$. Grup $U(2)$ ini memiliki empat buah parameter riil.
Sekarang, kita hendak mencari bentuk eksplisit dari semua anggota grup $SU(2)$. Karena
\[ \begin{vmatrix} e^{i\alpha}\cos\beta & e^{i\gamma}\sin\beta \\ \mp e^{i(\eta - \gamma)}\sin\beta & \pm e^{i(\eta - \alpha)}\cos\beta \end{vmatrix} = 1, \]
maka
\[ \pm e^{i\eta}\cos^2\beta \pm e^{i\eta}\sin^2\beta = 1 \]
alias $\pm e^{i\eta} = 1$ alias $\pm 1 = 1$ dan $\eta = 2n\pi$, sehingga
\[ A = \begin{pmatrix} e^{i\alpha}\cos\beta & e^{i\gamma}\sin\beta \\ -e^{-i\gamma}\sin\beta & e^{-i\alpha}\cos\beta \end{pmatrix} \in SU(2) \]
untuk semua $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$. Grup $SU(2)$ ini memiliki tiga buah parameter riil.