Forum Katolik Indonesia
Sains Katolik => Voltase => Topik dimulai oleh: cotrans pada September 27, 2021, 11:52:11 PM
-
\section{Metode Bayangan dalam Elektrostatika; Permukaan Bola yang Potensial Listriknya Ditanahkan}
Andaikan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$, ada dua buah muatan listrik $q_1, q_2 \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ yang berturut-turut terletak di posisi $\vec{r}_1 := r_1\hat{z} \in \mathbb{R}^3$ dan $\vec{r}_2 := r_2\hat{z} \in \mathbb{R}^3$ di mana $r_1, r_2 \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.
Posisi seluruh permukaan bola yang berpusat di titik $(0, 0, 0)$ dan berjari-jari $R \in \mathbb{R}^+$ adalah
\[ \vec{r} := R(\hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta) \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $\theta \in [0, \pi]$, dan $\phi \in \{ 0 \}\cup(0, \pi)$.
Kita ingin agar potensial listrik yang diakibatkan oleh kedua muatan tersebut bernilai nol di seluruh permukaan bola tersebut, sehingga
\[ \frac{\kappa q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|} + \frac{\kappa q_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|} = 0 \]
di mana $\kappa := 1/(4\pi\epsilon_0)$ dengan $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik dalam ruang hampa. Di sini, kita diminta untuk mencari kaitan eksplisit antara $r_1, r_2, q_1, q_2$ agar potensial listrik di seluruh permukaan bola tersebut tertanahkan.
Oleh karena itu,
\[ q_1|\vec{r} - \vec{r}_2| = -q_2|\vec{r} - \vec{r}_1| \]
sehingga $q_1$ dan $q_2$ dalam hal ini harus berlawanan tanda.
Pengkuadratan kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan
\[ q_1^2[R^2\sin^2\theta\cos^2\phi + R^2\sin^2\theta\sin^2\phi + (R\cos\theta - r_2)^2] \]
\[ = q_2^2[R^2\sin^2\theta\cos^2\phi + R^2\sin^2\theta\sin^2\phi + (R\cos\theta - r_1)^2] \]
alias
\[ q_1^2(R^2 + r_2^2 - 2Rr_2\cos\theta) = q_2^2(R^2 + r_1^2 - 2Rr_1\cos\theta). \]
Karena persamaan terakhir harus berlaku untuk semua $\theta \in [0, \pi]$, maka haruslah
\[ q_1^2r_2 = q_2^2r_1 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ q_1^2(R^2 + r_2^2) = q_2^2(R^2 + r_1^2). \]
Dari persamaan terakhir, tampak bahwa $r_1$ dan $r_2$ harus bertanda sama.
Tentu saja, $q_2^2 = (r_2/r_1)q_1^2$, sehingga
\[ q_1^2(R^2 + r_2^2) = (r_2/r_1)q_1^2(R^2 + r_1^2) \]
alias
\[ r_1(R^2 + r_2^2) = r_2(R^2 + r_1^2) \]
alias
\[ r_1r_2^2 - (R^2 + r_1^2)r_2 + r_1R^2 = 0 \]
alias (dengan rumus abc)
\[ r_2 = \frac{R^2 + r_1^2 \pm \sqrt{(R^2 + r_1^2)^2 - 4R^2r_1^2}}{2r_1} \]
alias
\[ r_2 = \frac{R^2 + r_1^2 \pm (R^2 - r_1^2)}{2r_1} =: r_2^\pm. \]
Dari sini, kita peroleh
\[ r_2^+ = R^2/r_1 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ r_2^- = r_1. \]
Karena $q_1$ dan $q_2$ harus berlawanan tanda, maka
\[ q_2 = -\sqrt{r_2/r_1}q_1 \]
yang memiliki dua buah nilai yaitu
\[ q_2^\pm := -\sqrt{r_2^\pm/r_1}q_1. \]
Oleh karena itu,
\[ q_2^+ = -(R/|r_1|)q_1 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ q_2^- = -q_1. \]
Jadi, ada dua kemungkinan dari $r_2$ dan $q_2$.