Forum Katolik Indonesia
Kategori Umum => Fisika => Topik dimulai oleh: cotrans pada Desember 25, 2021, 11:08:53 PM
-
\section{Pengkuantuman Suatu Observabel Fisis}
Andaikan ada sebuah observabel fisis yang berbentuk
\[ Q := \sum_{j = 1}^n \zeta_jp_j + \eta \]
di mana $Q, \zeta_1, \cdots, \zeta_n, q_1, \cdots q_n, p_1, \cdots, p_n, \eta \in \mathbb{R}$ serta $Q$ bergantung pada $(q_1, \cdots, q_n, p_1, \cdots, p_n)$, $\zeta_j$ bergantung pada $(q_1, \cdots, q_n)$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, n \}$, dan $\eta$ bergantung pada $(q_1, \cdots, q_n)$. Di sini, didefinisikan operator $\hat{q}_j := q_j$ dan $\hat{p}_j := -i\hbar\partial/\partial q_j$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner satuan, dan $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi. Di sini, $q_j$ adalah komponen koordinat kanonis, dan $p_j$ adalah komponen dari momentum kanonis.
Andaikan ada sebuah gelombang kebolehjadian $\Psi \in \mathbb{C}$. Andaikan pula $\Psi$ memenuhi persamaan Schr\"odinger $\hat{H}\Psi = i\hbar\partial\Psi/\partial t$ di mana $\hat{H}$ adalah operator variabel Hamiltonian untuk sistem fisis tertentu, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.
Pengkuantuman dari $Q$ dalam wakilan posisi tentu saja adalah sedemikian rupa sehingga
\[ \hat{Q}\Psi = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^n [\zeta_j\hat{p}_j\Psi + \hat{p}_j(\zeta_j\Psi)] + \eta\Psi \]
alias
\[ \hat{Q}\Psi = -\frac{1}{2}i\hbar\sum_{j = 1}^n \left(\zeta_j\frac{\partial\Psi}{\partial q_j} + \frac{\partial}{\partial q_j}(\zeta_j\Psi)\right) + \eta\Psi \]
alias
\[ \hat{Q}\Psi = -\frac{1}{2}i\hbar\sum_{j = 1}^n \left(\zeta_j\frac{\partial\Psi}{\partial q_j} + \frac{\partial\zeta_j}{\partial q_j}\Psi + \zeta_j\frac{\partial\Psi}{\partial q_j}\right) + \eta\Psi \]
untuk semua $\Psi \in \mathbb{C}$, sehingga pengkuantuman observabel $Q$ adalah
\[ \hat{Q} = \eta - i\hbar\sum_{j = 1}^n \left(\zeta_j\frac{\partial}{\partial q_j} + \frac{1}{2}\frac{\partial\zeta_j}{\partial q_j}\right). \]