Messages

1

Santai Dulu / Lagu "Masa Remaja"

« pada: Maret 12, 2025, 06:16:34 PM »

2

Fisika / Mekanika Kuantum yang Tidak Mengistimewakan Partikel Tertentu

« pada: Januari 30, 2025, 01:59:08 PM »

\section{Mekanika Kuantum yang Tidak Mengistimewakan Partikel Tertentu}

Dalam fisika atom, kita mempelajari bagaimana elektron-elektron bersifat probabilistik yang berwujud gelombang probabilistik awan-awan elektron terhadap tenaga potensial listrik Coulomb dengan inti atom sebagai sumber potensial listrik Coulomb.  Gerak dari gelombang probabilistik awan-awan elektron tersebut diatur oleh persamaan gerak gelombang Schr\"odinger.  Ini dapat dibenarkan, tetapi ini masih mengistimewakan inti atom yang terletak pada posisi yang bersifat pasti (tidak probabilistik), serta masih mengistimewakan elektron yang terletak pada posisi yang bersifat probabilistik (tidak pasti).  Bagaimana apabila kita ingin membangun mekanika kuantum yang tidak mengistimewakan partikel tertentu?  Mungkinkah?  Ini tentu saja dapat dilakukan. Contohnya adalah sebagai berikut.

Andaikan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ hanya ada dua partikel bermuatan listrik $q_1, q_2 \in \mathbb{R}$ yang berturut-turut bermassa $m_1, m_2 \in \mathbb{R}^+$ yang berturut-turut terletak di posisi probabilistik $\vec{r}_1, \vec{r}_2 \in \mathbb{R}^3$.  Kedua partikel ini berinteraksi listrik Coulomb.  Bagaimana persamaan gelombang kebolehjadian dari kedua partikel tersebut?  Peluang keberadaan kedua partikel tersebut di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ tersebut diwakili oleh fungsi gelombang kebolehjadian
\[ \Psi \,:\, \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{R} \to \mathbb{C} \,:\, (\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) \mapsto \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) \]
yang memenuhi persamaan Schr\"odinger
\[ -\frac{1}{2}\hbar^2\left( \frac{1}{m_1}\nabla_1^2 + \frac{1}{m_2}\nabla_2^2 \right)\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) + \frac{q_1 q_2}{2\pi\epsilon_0|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) \]
dengan $\nabla_1 := \partial/\partial\vec{r}_1$ dan $\nabla_2 := \partial/\partial\vec{r}_2$ serta $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Di sini, $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa.  Penyelesaian dari persamaan Schr\"odinger tersebut menghasilkan $\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t)$ yang memuat segala informasi fisis terkait segala besaran-besaran fisis yang dimiliki oleh kedua partikel tersebut.

3

Ruang Pengetahuan Dasar Iman Katolik / Pandangan Gereja Katolik tentang LBGT

« pada: Januari 05, 2025, 11:13:30 AM »

4

Ruang Pengetahuan Dasar Iman Katolik / Pandangan Gereja Katolik tentang Reinkarnasi

« pada: Januari 05, 2025, 11:11:54 AM »

5

Matematika / Membalik Persamaan

« pada: Desember 17, 2024, 09:25:38 AM »

\section{Membalik Persamaan}

Andaikan $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang  pemetaan yang kontinyu.  Persamaan $y = f(x)$ dapat dibalik dengan menyatakan $x$ dalam $f$ dan $y$, yaitu bahwa $x = f^{-1}(y)$ di mana $f^{-1}(y)$ adalah pra-bayangan dari $y$ terhadap $f$, serta $x$ tidak harus tunggal.

Andaikan kali ini $f, g \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang dua buah pemetaan yang kontinyu, serta $\alpha \in \mathbb{R}$ adalah sebarang tetapan.  Pemetaan-pemetaan $f\circ g$, $fg$, $(f, g)$, dan $\alpha f$ didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ (f\circ g)(x) = f(g(x)), \]
\[ (fg)(x) = f(x)g(x), \]
\[ (f, g)(x) = (f(x), g(x)), \]
serta
\[ (\alpha f)(x) = \alpha f(x) \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$.

Pemetaan $c_1, \operatorname{id} \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ hendak didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ c_1(x) = 1 \]
dan
\[ \operatorname{id}(x) = x \]
untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.

Andaikan kali ini $f \,:\, \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang pemetaan dengan dua buah valensi.  Persamaan $z = f(x, y)$ dapat dibalik, misalnya, dengan menyatakan $x$ dalam $f$, $y$, dan $z$.  Untuk membaliknya, akan dilakukan prosedur sebagai berikut.
\[ z = f(x, y). \]
\[ z = f(\operatorname{id}(x), yc_1(x)). \]
\[ z = f((\operatorname{id}, yc_1)(x)). \]
\[ z = [f\circ(\operatorname{id}, yc_1)](x). \]
\[ x = [f\circ(\operatorname{id}, yc_1)]^{-1}(z). \]
Dengan demikian $x$ sudah dinyatakan dalam $f$, $y$, dan $z$ di mana $x$ tidak harus tunggal.  Inilah contoh sederhana dari pembalikan persamaan tersebut.  Pembaca dapat mengembangkan sendiri konsep ini dengan cara membuat kasus yang lebih umum untuk persamaan-persamaan yang mengandung pemetaan kontinyu bervalensi lebih dari dua.

6

Ruang Pengetahuan Dasar Iman Katolik / Mengapa Ada Katolik dan Protestan?

« pada: April 12, 2023, 08:56:13 PM »

7

Analisis Abstrak / Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus

« pada: Oktober 07, 2022, 04:51:46 PM »

\section{Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus}

Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa
\[ \int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a) \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$, $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi kontinyu, dan $f'$ adalah turunan pertama dari $f$.

Karena
\[ \int_a^b f(x)dx := \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}, \]
maka
\[ I := \int_a^b f'(x)dx \]
alias
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f'\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \lim_{\epsilon \to 0}\frac{f\left(a + j\frac{b - a}{n} + \epsilon\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\epsilon}\frac{b - a}{\epsilon}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \frac{f\left(a + (j + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\frac{b - a}{n}}\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\left[f\left(a + (n + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f(a)\right]. \]
\[ I = f(b) - f(a). \]

8

Forum Terbuka / Klasifikasi Gereja

« pada: Oktober 01, 2022, 10:32:53 PM »

Gereja adalah Tubuh Kristus itu sendiri.  Pemimpin Gereja itu tidak lain adalah Tuhan Yesus Kristus yang adalah Satu-Satu-Nya Allah Tuhan Yang Maha Esa.  Gereja itu terdiri dari Gereja Katolik, Gereja Ortodoks, Gereja Unitarian, dan Gereja Protestan.  Pengikut Kristus itu sering disebut Kristen.  Gereja Katolik adalah Gereja yang tertua dan pertama yang didirikan langsung oleh Tuhan Yesus Kristus melalui takhta Santo Petrus.  Adalah salah kaprah apabila kita mengatakan bahwa Katolik itu bukan Kristen, sebab Gereja Katolik merupakan Kristen pertama.  Di Indonesia, kata "Kristen" lebih cenderung dimaknai oleh orang awam sebagai Protestan.  Ini salah besar, sebab Protestan itu hanyalah salah satu dari Kristen di samping Katolik, Ortodoks, dan Unitarian.  Oleh oknum-oknum yang tidak bertanggung jawab, kata "Kristen" kerap kali diplesetkan dan disalah artikan untuk mengacu kepada Protestan.  Padahal, sekali lagi, ini salah besar.  Yang benar adalah bahwa agama Kristen itu meliputi Katolik, Ortodoks, Unitarian, dan Protestan.  Mula-mula, Gereja itu hanya satu, yaitu Gereja Katolik saja.  Kemudian, pada akhirnya, Gereja Katolik terpecah menjadi Gereja Ortodoks, Gereja Unitarian, dan Gereja Protestan.  Tentu saja, sebagian dari ajaran-ajaran dan tata-ibadah Gereja Katolik dibawa dan ditiru oleh Gereja Ortodoks, Gereja Unitarian, dan Gereja Protestan, walau tidak semuanya.  Sebagai orang Katolik, kita jangan mau dibodoh-bodohi oleh oknum yang tidak bertanggung jawab.

9

Fisika / Gerak Melingkar di $\mathbb{R}^2$

« pada: September 10, 2022, 06:53:23 PM »

\section{Gerak Melingkar di $\mathbb{R}^2$}

Misalkan ada sebuah partikel yang bergerak melingkar di $\mathbb{R}^2$ dengan posisi
\[ \vec{r} = l(\hat{x}\sin\theta - \hat{y}\cos\theta) \]
di mana $l$ adalah jari-jari lintasan gerak melingkar yang konstan, $\hat{x} := (1, 0)$, $\hat{y} := (0, 1)$, dan $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut putar yang bergantung pada waktu $t \in \mathbb{R}$.  Tentu saja, kecepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{v} = \dot{\vec{r}} = l\dot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) \]
dan percepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{a} := \dot{\vec{v}} = l\ddot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) + l\dot{\theta}^2(-\hat{x}\sin\theta + \hat{y}\cos\theta) \]
\[ = l[\hat{x}(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta) + \hat{y}(\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)]. \]
Di sini didefinisikan $\dot{Q} := dQ/dt$ dan $\ddot{Q} := d\dot{Q}/dt$ untuk sebarang besaran $Q$.

Vektor satuan yang searah $\vec{v}$ adalah
\[ \hat{v} := \vec{v}/|\vec{v}| = \hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta. \]
Kuadrat besar percepatannya adalah
\[ |\vec{a}|^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta) + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \dot{\theta}^4\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)] \]
\[ = l^2(\ddot{\theta}^2 + \dot{\theta}^4). \]
Percepatan tangensialnya adalah
\[ \vec{a}_{//} := \vec{a}\cdot\hat{v}\hat{v} \]
sedangkan percepatan sentripetalnya adalah
\[ \vec{a}_\bot := \vec{a} - \vec{a}_{//}. \]
Tentu saja,
\[ \vec{a}\cdot\hat{v} = l[(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta)\cos\theta + (\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\sin\theta] \]
sehingga
\[ (\vec{a}\cdot\hat{v})^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta)\cos^2\theta \]
\[ + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \ddot{\theta}^2\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)\sin^2\theta \]
\[ + 2(\ddot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta + \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos^2\theta - \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin^2\theta - \dot{\theta}^4\sin\theta\cos\theta)\cos\theta\sin\theta] \]
\[ = l^2[\ddot{\theta}^2(1 - 2\sin^2\theta + \sin^4\theta) + \ddot{\theta}^2\sin^4\theta + 2\ddot{\theta}^2\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta)] = l^2\ddot{\theta}^2 \]
alias
\[ |\vec{a}_{//}| = l|\ddot{\theta}| = |\alpha|R \]
di mana $\alpha := \ddot{\theta}$ adalah percepatan sudutnya dan $R := l$.  Selanjutnya,
\[ |\vec{a}_\bot|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}_{//}|^2 = l^2\dot{\theta}^4 \]
alias
\[ |\vec{a}_\bot| = l|\dot{\theta}|^2 = \omega^2R \]
di mana $\omega := \dot{\theta}$.

10

Geometri Analitik / Segitiga Geodesik yang Seperti Waktu, Seperti Cahaya, dan Seperti Ruang di Ruang

« pada: Agustus 09, 2022, 09:30:44 AM »

\section{Segitiga Geodesik yang Seperti Waktu, Seperti Cahaya, dan Seperti Ruang di Ruang Minkowski}

Kuadrat jarak antara titik $A := (t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $B := (t_1, x_1, y_1, z_1)$ di ruang Minkowski adalah
\[ s_{01}^2 = c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2  \]
di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Apabila $s_{01}^2 > 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti waktu.  Apabila $s_{01}^2 = 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti cahaya.  Apabila $s_{01}^2 < 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti ruang.  Andaikan ada segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$.  Di sini, akan dipaksakan
\[ c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = s_{12}^2, \]
\[ c^2(t_3 - t_2)^2 - (x_3 - x_2)^2 - (y_3 - y_2)^2 - (z_3 - z_2)^2 = s_{23}^2, \]
\[ c^2(t_1 - t_3)^2 - (x_1 - x_3)^2 - (y_1 - y_3)^2 - (z_1 - z_3)^2 = s_{31}^2. \]
Apabila $s_{12}$, $s_{23}$, dan $s_{31}$ dianggap sudah diketahui dan bersifat bebas, maka di antara kedua belas peubah lainnya, yaitu $t_1$, $t_2$, $t_3$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $y_1$, $y_2$, $y_3$, $z_1$, $z_2$, dan $z_3$, harus ada $3$ peubah yang tidak bebas, sedangkan $12 - 3 = 9$ peubah lainnya dianggap bebas.  Agar di antara ketiga peubah tak bebas tersebut (yang diambil dari kedua belas peubah tersebut) tidak ada yang diistimewakan, maka akan dilakukan parameterisasi terhadap kedua belas peubah tersebut, misalnya
\[ c(t_2 - t_1) = s_{12}\cosh\alpha_{12}, \]
\[ x_2 - x_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12}, \]
\[ y_2 - y_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12}, \]
\[ z_2 - z_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = s_{23}\cosh\alpha_{23}, \]
\[ x_3 - x_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23}, \]
\[ y_3 - y_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23}, \]
\[ z_3 - z_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = s_{31}\cosh\alpha_{31}, \]
\[ x_1 - x_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31}, \]
\[ y_1 - y_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31}, \]
\[ z_1 - z_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31}. \]
Ternyata,
\[ s_{12}\cosh\alpha_{12} + s_{23}\cosh\alpha_{23} + s_{31}\cosh\alpha_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31} = 0. \]
Jumlah peubah tak bebas itu sama dengan jumlah persamaan kendala yang saling bebas satu sama lain.

11

Geometri Analitik / Segitiga Geodesik yang Panjang Ketiga Sisinya Nol di Ruang Minkowski

« pada: Agustus 03, 2022, 01:55:44 PM »

\section{Segitiga Geodesik yang Panjang Ketiga Sisinya Nol di Ruang Minkowski}

Persamaan Geodesik pada sebuah manifold licin $M \subseteq \mathbb{R}^m$ berdimensi $n$ yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^m$, yang dilengkapi dengan tensor metrik $g := g_{ij}\vec{e}^i\otimes\vec{e}^j$, di mana $g_{ij} \in \mathbb{R}$ adalah komponen kovarian dari $g$, $\vec{e}^i := \nabla q^i$, dengan $\vec{r} \in M$ adalah vektor posisi yang bergantung pada koordinat umum $q^i \in \mathbb{R}$, adalah
\[ \ddot{q}^i + {\Gamma^i}_{jk}\dot{q}^j\dot{q}^k = 0. \]
Di sini, $\dot{q}^i := dq^i/d\lambda$ dan $\ddot{q}^i := d\dot{q}^i/d\lambda$ dengan $\lambda \in \mathbb{R}$ adalah parameter dari $q^i$, serta
\[ {\Gamma^i}_{jk} := \frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial q^k} + \frac{\partial g_{kl}}{\partial q^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial q^l}\right) \]
adalah lambang Christoffel.  Untuk metrik Minkowski, $n = 4$, serta $g = \eta$, di mana $\eta_{00} = c^2$, $\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = -1$, dan $(\eta_{ij})_{j \neq i} = 0$, dan $q^0 := t$, $q^1 := x$, $q^2 := y$, $q^3 := z$, di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Di sini, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah ruang fisis.  Oleh karena itu, di ruang Minkowski, berlaku ${\Gamma^i}_{jk} = 0$ untuk setiap $i, j, k \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, sehingga persamaan geodesiknya menjadi $\ddot{q}^i = 0$ alias $q^i = \alpha^i\lambda + \beta^i$ di mana $\alpha^i, \beta^i \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak dicari kemudian.  Apabila $q^i = q^i_0$ ketika $\lambda = 0$, serta $q^i = q^i_1$ ketika $\lambda = 1$, maka diperoleh
\[ q^i = (q^i_1 - q^i_0)\lambda + q^i_0. \]
Tentu saja, $\dot{q}^i = q^i_1 - q^i_0$.  Jarak antara titik $(t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $(t_1, x_1, y_1, z_1)$ dalam ruang Minkowsi tentu saja adalah
\[ s_{01} := \int_0^1 \sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j}d\lambda. \]
Karena $g_{ij}$ konstan dan $\dot{q}^i$ juga konstan, maka diperoleh
\[ s_{01} = \sqrt{c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2}. \]
Agar $s_{01} = 0$, maka haruslah
\[ c(t_1 - t_0) = \pm\gamma_{01} \]
di mana $\gamma_{01}$ didefinisikan sedemikian rupa
\[ \gamma_{01} := \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2}. \]
Andaikan ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$, sehingga dalam hal ini terdapat $4 + 4 + 4 = 12$ peubah bebas.  Agar panjang ketiga sisi segitiga tersebut bernilai nol, maka haruslah dipenuhi
\[ c(t_2 - t_1) = \pm_{12}\gamma_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = \pm_{23}\gamma_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = \pm_{31}\gamma_{31}. \]
Karena dari ke-$12$ buah peubah bebas itu terdapat $3$ buah persamaan sebagai kendala, maka cacah peubah bebas sisanya menjadi $12 - 3 = 9$ buah peubah bebas, serta terdapat $3$ buah peubah tak bebas, yaitu $t_1, t_2, t_3$, yang akan dicari dengan metode matriks dan determinan.  Penyajian matriks dari ketiga persamaan terakhir adalah
\[ \begin{pmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm_{12}\gamma_{12} \\ \pm_{23}\gamma_{23} \\ \pm_{31}\gamma_{31} \end{pmatrix}. \]
Karena
\[ \Delta := \begin{vmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{vmatrix} = 0, \]
serta $\Delta_1$, $\Delta_2$, dan $\Delta_3$ semuanya tidak nol, sedemikian rupa $t_1 = \Delta_1/\Delta$, $t_2 = \Delta_2/\Delta$, dan $t_3 = \Delta_3/\Delta$, maka diperoleh kesimpulan bahwa tidak mungkin ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang panjang ketiga sisinya semuanya nol.

12

Matematika / Maksima, Minima, dan Pelana Kuda dari Fungsi Dua Peubah

« pada: Juli 24, 2022, 04:49:22 PM »

\section{Maksima, Minima, dan Pelana Kuda dari Fungsi Dua Peubah}

Misalkan ada sebuah fungsi $f \,:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ yang kontinyu.  Andaikan didefinisikan $\varphi := f(x, y)$.  Andaikan pula, diketahui $\varphi = 0$.  Oleh karena itu, pastilah $\varphi$ bergantung pada $x$ dan $y$.  Kita akan mencari titik $(x, y)$ yang menyebabkan $\varphi$ bernilai stasioner.  Mula-mula, $x$ dan $y$ dianggap bergantung pada $t \in \mathbb{R}$ sehingga $\varphi$ boleh dianggap bergantung pada $t$.  Oleh karena itu, agar $\varphi$ bernilai stasioner, maka
\[ \frac{d\varphi}{dt} = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt} = 0 \]
untuk setiap $t$, sehingga syarat agar $\varphi$ bernilai stasioner adalah
\[ \frac{\partial\varphi}{\partial x} = 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial\varphi}{\partial y} = 0. \]
Misalkan titik $(x, y)$ yang menyebabkan $\varphi$ bernilai stasioner adalah $(x_0, y_0)$.  Titik $(x_0, y_0)$ menyebabkan $\varphi$ bernilai maksimum apabila $d^2\varphi/dt^2 < 0$ di titik $(x_0, y_0)$ sehingga
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right) < 0 \]
alias
\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{d}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{d^2\varphi}{dt^2} < 0. \]
Karena sudah diketahui $\partial\varphi/\partial x = 0$ dan $\partial\varphi/\partial y = 0$ di titik $(x_0, y_0)$, maka diperoleh
\[ \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dy}{dt}\right)\frac{dx}{dt} + \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}\frac{dy}{dt}\right)\frac{dy}{dt} < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right] < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left[\left\{\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right\}^2 + \left\{\frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} - \left(\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right)^2\right\}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right] < 0 \]
alias $\partial^2\varphi/\partial x^2 < 0$ dan
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left\{\frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} + \left(\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right)^2\right\} < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} - \frac{(\partial^2\varphi/\partial x\partial y)^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} < 0 \]
alias
\[ \Delta := \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\right)^2 > 0. \]
Jadi, syarat agar titik $(x_0, y_0)$ menjadikan $\varphi$ bernilai maksimum adalah
\[ \Delta > 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial x^2 < 0 ~~~~~ \text{atau} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial y^2 < 0 \]
di titik $(x_0, y_0)$.  Dengan cara serupa, syarat agar titik $(x_0, y_0)$ menjadikan $\varphi$ bernilai minimum ($d^2\varphi/dt^2 >0$) adalah
\[ \Delta > 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial x^2 > 0 ~~~~~ \text{atau} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial y^2 > 0 \]
di titik $(x_0, y_0)$.  Apabila $\Delta < 0$ di titik $(x_0, y_0)$, maka titik $(x_0, y_0)$ merupakan titik pelana kuda.  Apabila $\Delta = 0$ maka tidak diperoleh informasi apa-apa.

13

Efek Doppler / Efek Doppler untuk Cahaya

« pada: Juli 10, 2022, 07:37:59 PM »

\section{Efek Doppler untuk Cahaya}

Kaitan antara waktu $t \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K$ dan waktu $t' \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah
\[ dt' = \Gamma(dt - d\vec{r}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi titik $P$ menurut $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Kaitan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu
\[ dt' = \Gamma dt(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{v} := d\vec{r}/dt$ adalah kecepatan $P$ menurut $K$.  Apabila $\vec{v}$ dan $\vec{V}$ konstan, maka kaitan terakhir dapat diintegralkan menjadi
\[ t' - t'_0 = \Gamma(t - t_0)(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $t'_0, t_0 \in \mathbb{R}$ adalah tetapan waktu awal.  Apabila $t' - t'_0 = T'$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K'$, dan $t - t_0 = T$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K$, serta $\vec{v} := c\vec{V}/|\vec{V}|$ adalah kecepatan $P$ yang dianggap sebagai partikel cahaya dalam ruang hampa, maka diperoleh
\[ T' = T\frac{1 - V/c}{\sqrt{1 - (V/c)^2}} \]
di mana $V \in \mathbb{R}$ adalah kecepatan 1-dimensi $K'$ menurut $K$ sedemikian $\vec{V} = V\hat{V}$ dengan $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$.  Karena frekuensi gelombang cahaya menurut $K$ adalah $\nu := 1/T$, dan frekuensi gelombang cahaya menurut $K'$ adalah $\nu' := 1/T'$, maka
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 - (V/c)^2}}{1 - V/c} \]
alias
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 + V/c}\sqrt{1 - V/c}}{\sqrt{1 - V/c}\sqrt{1 - V/c}} \]
alias
\[ \nu' = \nu\sqrt{\frac{1 + V/c}{1 - V/c}} = \nu\sqrt{\frac{c + V}{c - V}}. \]
Kaitan terakhir ini merupakan efek Doppler untuk cahaya, di mana $V$ merupakan kecepatan relatif pengamat terhadap sumber cahaya.  Besaran $V$ bertanda positif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling mendekati, dan bertanda negatif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling menjauhi.

14

Elektrodinamika / Transformasi Kosinus dalam Relativitas Khusus

« pada: Juli 10, 2022, 04:27:38 PM »

\section{Transformasi Kosinus dalam Relativitas Khusus}

Secara relativistik, kecepatan titik $P$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah $\vec{v}' \in \mathbb{R}^3$ sedemikian
\[ \vec{v}' = \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $P$ menurut kerangka acuan $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$ adalah faktor Lorentz, $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$ adalah vektor satuan yang searah dengan $\vec{V}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Kuadrat magnitudo dari $\vec{v}'$ adalah $v'^2 = [v^2 + (\Gamma^2 - 2\Gamma + 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $+ \Gamma^2V^2 + 2(\Gamma - 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $- 2\Gamma V\vec{v}\cdot\hat{V}$ $- 2\Gamma(\Gamma - 1)V\vec{v}\cdot\hat{V}]/[\Gamma^2(1$ $- \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)^2]$ di mana $v' := |\vec{v}'|$, $v := |\vec{v}|$, dan $V := |\vec{V}|$.  Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2 + (\Gamma^2 - 1)v^2\chi^2 + \Gamma^2V^2 - 2\Gamma^2v\chi V}{\Gamma^2(1 - v\chi V/c^2)^2} \]
di mana $\chi := \cos\theta := \hat{v}\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v} := \vec{v}/v$.  Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(1 - v\chi V/c^2)^2}. \]
Arah $\vec{v}'$ yang searah dengan $\vec{V}$ adalah
\[ \vec{v}'\cdot\hat{V} = v'\chi' = \frac{v\chi - V}{1 - v\chi V/c^2} \]
di mana $\chi' := \cos\theta' := \hat{v}'\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v}' := \vec{v}'/v'$.  Selanjutnya,
\[ \frac{1}{\chi'} = v'\frac{1 - v\chi V/c^2}{v\chi - V} \]
yang dikuadratkan kedua ruasnya menjadi
\[ \frac{1}{\chi'^2} = v'^2\frac{(1 - v\chi V/c^2)^2}{(v\chi - V)^2} \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{1}{\chi'^2} = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 - v^2\chi^2}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - \chi^2)}{\Gamma^2(v\chi - V)^2}. \]
Kaitan terakhir merupakan transformasi kosinus sudut arah gerak objek $P$ menurut $K$ menjadi menurut $K'$ terhadap $\vec{V}$.  Tampak dalam kaitan terakhir, $\chi'$ dapat bernilai positif maupun negatif.  Lantas, mana yang dipakai?  Solusinya adalah sebagai berikut.  Mula-mula, kita masukkan $\theta' = 90^\circ$ sebagai batas ke-positif-an dan ke-negatif-an nilai $\chi'$, sehingga praktis $\chi' = 0$ yang mengharuskan $v\chi - V = 0$ yang mengakibatkan
\[ \chi' = \sqrt{\chi'^2}\operatorname{sgn}(v\chi - V). \]
Tentu saja, $\theta' = \arccos\chi'$.

15

Prinsip Fermat / Faktor Lorentz dalam Relativitas Umum

« pada: Juni 29, 2022, 04:31:39 PM »

\section{Faktor Lorentz dalam Relativitas Umum}

Dalam teori relativitas khusus, kita telah mengenal faktor Lorentz, yaitu $\gamma := 1/\sqrt{1 - (|\vec{v}|/c)^2}$, di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan partikel, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Kita juga telah mengenal kaitan $dt = \gamma d\tau$, di mana $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $\tau \in \mathbb{R}$ adalah swa-waktu.  Tentunya, kaitan terakhir ini dapat kita tuliskan sebagai
\[ (c^2 - |\vec{v}|^2)dt^2 = c^2d\tau^2 \]
alias
\[ c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2d\tau^2 \]
di mana $\vec{v} := (v_x, v_y, v_z) \in \mathbb{R}^3$, $v_x := dx/dt$, $v_y := dy/dt$, $v_z := dz/dt$, serta $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor posisi.  Tampak bahwa persamaan terakhir dapat kita tuliskan sebagai
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}dq^idq^j = c^2d\tau^2 \]
di mana $g_{00} := c^2$, $g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1$, dan $(g_{ij})_{j \neq i} = 0$.  Di sini, $g_{ij}$ merupakan komponen kovarian dari tensor metrik, serta $q^i$ adalah koordinat umum untuk setiap $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, dengan $q^0 := t$, $q^1 := x$, $q^2 := y$, dan $q^3 := z$.  Selanjutnya, persamaan terakhir akan diperumum untuk sebarang metrik yang merupakan ciri khas relativitas umum.  Persamaan terakhir tersebut dapat disajikan sebagai
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}dt^2 = c^2d\tau^2 \]
alias
\[ dt = \frac{c}{\sqrt{\sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}}}d\tau \]
yang akan dipadankan dengan persamaan $dt = \gamma d\tau$, sehingga diperoleh
\[ \gamma := \frac{c}{\sqrt{\sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}}} \]
yang merupakan faktor Lorentz dalam relativitas umum.

Lantas, berapa kelajuan cahaya untuk sebarang metrik?  Jawabannya adalah sebagai berikut.  Untuk cahaya, dipostulatkan $d\tau = 0$ sehingga diperoleh
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt} = 0 \]
sementara kelajuan cahaya dalam relativitas umum adalah $C \in \mathbb{R}^+$ sedemikian
\[ C^2 = \sum_{i, j = 1}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}. \]
di mana $q^1, q^2, q^3$ memenuhi persamaan kedua dari bawah.