Halaman: 1 ... 4 5 [6] 7 8 ... 10
51
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 28, 2021, 03:21:53 PM »
\section{Posisi Titik Rata-Rata terhadap Waktu}
Posisi rata-rata sebuah titik $\vec{r} \in \mathbb{R}^n$ yang bergantung pada waktu $t \in \mathbb{R}$ terhadap waktu $t$ sejak $t = 0$ didefinisikan sebagai
\[ \left<\vec{r}\right> := \frac{1}{t}\int_0^t \vec{r}\,dt. \]
Sebagai contoh, andaikan $n = 2$, serta
\[ \vec{r} = R(\hat{x}\cos\omega t + \hat{y}\sin\omega t) \]
yang merupakan gerak melingkar beraturan, di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari lintasan gerak melingkar tersebut, $\omega \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ adalah frekuensi sudut gerak melingkar tersebut yang konstan, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, serta $\hat{x} := (1, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1)$. Tentu saja
\[ \left<\vec{r}\right> = \frac{R}{\omega t}(\hat{x}\sin\omega t - \hat{y}(\cos\omega t - 1)). \]
Vektor $\left<\vec{r}\right>$ tersebut akan cenderung semakin mendekati titik $(0, 0)$ seiring dengan bertambahnya nilai $t$.
Contoh berikutnya adalah gerak ayunan selaras. Andaikan $n = 1$, serta $\vec{r} = z$, di mana
\[ z = z_0\cos\omega t \]
dengan $z_0 \in \mathbb{R}$ adalah posisi awal partikel tersebut, $\omega \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ adalah frekuensi sudut ayunan tersebut, dan $t$ adalah waktu. Tentu saja,
\[ \left<z\right> = \frac{z_0}{\omega t}\sin\omega t. \]
Posisi $\left<z\right>$ tersebut akan cenderung semakin mendekati titik $0$ seiring dengan bertambahnya nilai $t$.
52
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 25, 2021, 11:08:53 PM »
\section{Pengkuantuman Suatu Observabel Fisis}
Andaikan ada sebuah observabel fisis yang berbentuk
\[ Q := \sum_{j = 1}^n \zeta_jp_j + \eta \]
di mana $Q, \zeta_1, \cdots, \zeta_n, q_1, \cdots q_n, p_1, \cdots, p_n, \eta \in \mathbb{R}$ serta $Q$ bergantung pada $(q_1, \cdots, q_n, p_1, \cdots, p_n)$, $\zeta_j$ bergantung pada $(q_1, \cdots, q_n)$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, n \}$, dan $\eta$ bergantung pada $(q_1, \cdots, q_n)$. Di sini, didefinisikan operator $\hat{q}_j := q_j$ dan $\hat{p}_j := -i\hbar\partial/\partial q_j$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner satuan, dan $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi. Di sini, $q_j$ adalah komponen koordinat kanonis, dan $p_j$ adalah komponen dari momentum kanonis.
Andaikan ada sebuah gelombang kebolehjadian $\Psi \in \mathbb{C}$. Andaikan pula $\Psi$ memenuhi persamaan Schr\"odinger $\hat{H}\Psi = i\hbar\partial\Psi/\partial t$ di mana $\hat{H}$ adalah operator variabel Hamiltonian untuk sistem fisis tertentu, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.
Pengkuantuman dari $Q$ dalam wakilan posisi tentu saja adalah sedemikian rupa sehingga
\[ \hat{Q}\Psi = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^n [\zeta_j\hat{p}_j\Psi + \hat{p}_j(\zeta_j\Psi)] + \eta\Psi \]
alias
\[ \hat{Q}\Psi = -\frac{1}{2}i\hbar\sum_{j = 1}^n \left(\zeta_j\frac{\partial\Psi}{\partial q_j} + \frac{\partial}{\partial q_j}(\zeta_j\Psi)\right) + \eta\Psi \]
alias
\[ \hat{Q}\Psi = -\frac{1}{2}i\hbar\sum_{j = 1}^n \left(\zeta_j\frac{\partial\Psi}{\partial q_j} + \frac{\partial\zeta_j}{\partial q_j}\Psi + \zeta_j\frac{\partial\Psi}{\partial q_j}\right) + \eta\Psi \]
untuk semua $\Psi \in \mathbb{C}$, sehingga pengkuantuman observabel $Q$ adalah
\[ \hat{Q} = \eta - i\hbar\sum_{j = 1}^n \left(\zeta_j\frac{\partial}{\partial q_j} + \frac{1}{2}\frac{\partial\zeta_j}{\partial q_j}\right). \]
53
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 16, 2021, 08:50:51 PM »
\section{Transformasi Lorentz untuk Operator Turunan}
Transformasi Lorentz untuk perangkat momentum-energi adalah
\[ \vec{p}' = \vec{p} + (\Gamma - 1)\vec{p}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}E/c^2 \]
dan
\[ E' = \Gamma(E - \vec{V}\cdot\vec{p}) \]
di mana $\vec{p} \in \mathbb{R}^3$ adalah momentum partikel menurut kerangka acuan $O$, $\vec{p}' \in \mathbb{R}^3$ adalah momentum partikel menurut kerangka acuan $O'$, $E \in \mathbb{R}$ adalah energi relativistik partikel menurut $O$, $E' \in \mathbb{R}$ adalah energi relativistik partikel menurut $O'$, $\Gamma := [1 - (V/c)^2]^{-1/2}$ adalah faktor Lorentz, $V := |\vec{V}|$ adalah kelajuan $O'$ menurut $O$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $O'$ menurut $O$, $\hat{V} := \vec{V}/V$ adalah arah dari $\vec{V}$, dan $c$ adalah tetapan kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Penggantian (pengkuantuman) $\vec{p} \mapsto -i\hbar\nabla$, $E \mapsto i\hbar\partial/\partial t$, $\vec{p}' \mapsto -i\hbar\nabla'$, dan $E' \mapsto i\hbar\partial/\partial t'$, di mana $\nabla := \partial/\partial\vec{r}$, $\nabla' := \partial/\partial\vec{r}'$, $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut $O$, $\vec{r}' \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut $O'$, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, serta $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan khayal satuan, dan $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, menghasilkan
\[ -i\hbar\nabla' = -i\hbar\nabla - i\hbar(\Gamma - 1)\hat{V}\hat{V}\cdot\nabla - i\hbar\Gamma c^{-2}\vec{V}\partial/\partial t \]
dan
\[ i\hbar\partial/\partial t' = \Gamma(i\hbar\partial/\partial t' + i\hbar\vec{V}\cdot\nabla). \]
Kedua persamaan terakhir dapat diubah menjadi
\[ \nabla' = \nabla + (\Gamma - 1)\hat{V}\hat{V}\cdot\nabla + \Gamma c^{-2}\vec{V}\partial/\partial t \]
dan
\[ \partial/\partial t' = \Gamma(\partial/\partial t + \vec{V}\cdot\nabla). \]
Kedua persamaan terakhir merupakan transformasi Lorentz untuk turunan terhadap variabel ruang dan waktu.
54
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 16, 2021, 12:34:28 PM »
\section{Rapat Peluang dan Rapat Arus Peluang dari Persamaan Schr\"odinger Relativistik}
Persamaan Schr\"odinger relativistik adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) + V\left(\Psi - \frac{1}{2mc^2}\left(V\Psi - 2i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)\right) = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \]
di mana $\hbar$ adalah konstanta Planck tereduksi, $m \in \mathbb{R}^+$ adalah massa partikel, $\Psi \in \mathbb{C}$ adalah gelombang kebolehjadian yang bergantung pada posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ dan waktu $t \in \mathbb{R}$, $c$ adalah konstanta kelajuan cahaya dalam ruang hampa, $V \in \mathbb{R}$ adalah tenaga potensial yang bergantung pada $\vec{r}$ dan $t$, dan $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner satuan. Oleh karena itu,
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\Psi^*\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) + V\left(|\Psi|^2 - \frac{1}{2mc^2}\left(V|\Psi|^2 - 2i\hbar\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)\right) = i\hbar\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t} \]
dan
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\Psi\nabla^2\Psi^* - \frac{1}{c^2}\Psi\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial t^2}\right) + V\left(|\Psi|^2 - \frac{1}{2mc^2}\left(V|\Psi|^2 + 2i\hbar\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\right)\right) = -i\hbar\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}. \]
Dengan mengambil selisih dari kedua persamaan terakhir, diperoleh
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla\cdot(\Psi^*\nabla\Psi - \Psi\nabla\Psi^*) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\right)\right) + \frac{i\hbar V}{mc^2}\frac{\partial|\Psi|^2}{\partial t} = i\hbar\frac{\partial|\Psi|^2}{\partial t} \]
alias
\[ \frac{i\hbar}{2m}\left(\nabla\cdot(\Psi^*\nabla\Psi - \Psi\nabla\Psi^*) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\right)\right) + \left(\frac{V}{mc^2} - 1\right)\frac{\partial|\Psi|^2}{\partial t} = 0 \]
alias
\[ \nabla\cdot\vec{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0 \]
yang merupakan persamaan kontinyuitas peluang, di mana
\[ \vec{J} := \frac{i\hbar}{2m}(\Psi\nabla\Psi^* - \Psi^*\nabla\Psi) \]
yang merupakan rapat arus peluangnya, dan
\[ \rho := \left(1 - \frac{V}{mc^2}\right)|\Psi|^2 + \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t} - \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right) \]
adalah rapat peluangnya.
55
« Tulisan terakhir by cotrans pada November 13, 2021, 12:02:31 AM »
\section{Bentuk Eksplisit dari Koefisien Struktur dari Sebuah Basis Ruang Vektor Singgung pada Sebuah Manifold}
Misalkan ada sebuah basis di titik $p := \vec{r} \in M \subseteq \mathbb{R}^n$ yang bergantung pada koordinat $(q^1, \cdots, q^m) \in \mathbb{R}^m$ pada sebuah manifold $M$ berdimensi $m \leq n$ yang tidak harus merupakan basis koordinat, yaitu
\[ B := \{ \vec{c}_1, \cdots, \vec{c}_m \} \]
di mana $\vec{c}_i := {M^j}_i\vec{e}_j$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, dengan ${M^j}_i \in \mathbb{R}$ bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, m \}$, serta $\vec{e}_j := \partial\vec{r}/\partial q^j$ adalah sebuah anggota basis koordinat untuk setiap $j \in \{ 1, \cdots, m \}$. Di sini, telah dipakai kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, yaitu bahwa $a_{ii} := \sum_{i = 1}^m a_{ii}$. Di sini didefinisikan $\vec{e}_i(Q) := \partial Q/\partial q^i$ untuk sebarang kuantitas $Q$.
Lantas, perkalian Lie dari $\vec{X}, \vec{Y} \in T_pM$ anggota ruang vektor singgung di titik $p \in M$ didefinisikan sebagai
\[ [\vec{X}, \vec{Y}] := \vec{X}\vec{Y} - \vec{Y}\vec{X} \]
di mana $\vec{X} := X^i\vec{c}_i$ dan $\vec{Y} := Y^i\vec{c}_i$ dengan $X^i, Y^i \in \mathbb{R}$ bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, sehingga
\[ [\vec{X}, \vec{Y}] = X^i\vec{c}_i(Y^j\vec{c}_j) - Y^i\vec{c}_i(X^j\vec{c}_j) \]
\[ = [X^i\vec{c}_i(Y^j) - Y^i\vec{c}_i(X^j)]\vec{c}_j + X^iY^j[\vec{c}_i, \vec{c}_j] \]
sedemikian rupa sehingga
\[ [\vec{c}_i, \vec{c}_j] = {f^k}_{ij}\vec{c}_k \]
di mana ${f^k}_{ij} \in \mathbb{R}$ adalah koefisien struktur yang secara umum bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$ untuk setiap $i, j, k \in \{ 1, \cdots, m \}$. Oleh karena itu,
\[ [{M^a}_i\vec{e}_a, {M^b}_j\vec{e}_b] = {f^k}_{ij}{M^c}_k\vec{e}_c \]
alias
\[ ({M^a}_i\partial{M^b}_j/\partial q^a - {M^a}_j\partial{M^b}_i/\partial q^a)\vec{e}_b = {f^k}_{ij}{M^c}_k\vec{e}_c \]
karena $[\vec{e}_a, \vec{e}_b] = \vec{0}$.
Apabila didefinisikan $\vec{e}^i := \nabla q^i$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, maka tentu saja $\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j = {\delta^i}_j$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, m \}$, sehingga
\[ {M^a}_i\partial{M^h}_j/\partial q^a - {M^a}_j\partial{M^h}_i/\partial q^a = {f^k}_{ij}{M^h}_k. \]
Apabila didefinisikan ${N^j}_i \in \mathbb{R}$ sedemikian rupa sehingga $\vec{e}_i = {N^j}_i\vec{c}_j$, maka tentu saja
\[ \vec{e}_i = {N^j}_i{M^k}_j\vec{e}_k \]
sehingga terpaksa ${N^j}_i{M^k}_j = {\delta^k}_i$. Oleh karena itu,
\[ {N^k}_h({M^a}_i\partial{M^h}_j/\partial q^a - {M^a}_j\partial{M^h}_i/\partial q^a) = {f^k}_{ij}. \]
Inilah bentuk eksplisit dari koefisien struktur ${f^k}_{ij}$.
56
« Tulisan terakhir by cotrans pada Oktober 26, 2021, 08:19:03 PM »
\section{Menentukan Lagrangian Sistem jika Diketahui Persamaan Geraknya}
Persamaan gerak Euler-Lagrange tanpa kendala untuk gerak satu-dimensi pada garis riil $\mathbb{R}$ adalah
\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{z}} = \frac{\partial L}{\partial z} \]
di mana $L \in \mathbb{R}$ adalah Lagrangian (yang berdimensi tenaga) yang bergantung pada posisi $z \in \mathbb{R}$, kecepatan $\dot{z} := dz/dt$, dan waktu $t \in \mathbb{R}$.
Secara umum, $L$ dapat ditulis sebagai sebuah deret pangkat, yaitu
\[ L = \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}z^i\dot{z}^jt^k \]
di mana $\alpha_{ijk} \in \mathbb{R}$ adalah sebuah tetapan untuk setiap $i, j, k \in \mathbb{N}_0$.
Oleh karena itu,
\[ \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}\frac{d}{dt}(jz^i\dot{z}^{j - 1}t^k) = \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}iz^{i - 1}\dot{z}^jt^k \]
alias
\[ \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}(jiz^{i - 1}\dot{z}^jt^k + j(j - 1)z^i\dot{z}^{j - 2}\ddot{z}t^k + jkz^i\dot{z}^{j - 1}t^{k - 1}) = \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}iz^{i - 1}\dot{z}^jt^k \]
di mana $\ddot{z} := d\dot{z}/dt$. Inilah persamaan gerak sistem jika diketahui Lagrangian yang telan disebutkan sebelumnya.
Selanjutnya, akan dibicarakan contoh kongkretnya.
Persamaan gerak sebuah batu yang melambung vertikal ke atas dengan posisi $(0, 0, z)$ akibat pengaruh percepatan gravitasi $\vec{g} := (0, 0, -g)$, di mana $g \in \mathbb{R}^+$ adalah sebuah tetapan, adalah
\[ \ddot{z} = -g ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ m\ddot{z} = -mg \]
di mana $m \in \mathbb{R}^+$ adalah massa batu tersebut. Dengan membandingkan persamaan terakhir dengan persamaan gerak sistem secara umum, diperoleh
\[ 2\alpha_{020}\ddot{z} = \alpha_{100} - \alpha_{011} \]
sehingga otomatis
\[ 2\alpha_{020} = m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \alpha_{100} - \alpha_{011} = -mg \]
alias
\[ \alpha_{020} = (1/2)m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \alpha_{011} = mg + \alpha_{100} \]
sehingga
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 + \alpha_{100}z + (mg + \alpha_{100})\dot{z}t \]
yang lebih umum daripada Larangian yang biasa dipakai. Apabila Lagrangian $L$ ini dimasukkan ke dalam persamaan Euler-Lagrange tadi, maka kita peroleh $\ddot{z} = -g$. Secara khusus, substitusi $\alpha_{100} = -mg$ menghasilkan
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 - mgz \]
yang biasa dikenal.
Contoh selanjutnya adalah getaran selaras tak teredam, yaitu
\[ m\ddot{z} = -kz \]
di mana $k \in \mathbb{R}^+$ adalah tetapan pegas. Dengan membandingkan persamaan terakhir dengan persamaan gerak sistem secara umum, diperoleh
\[ 2\alpha_{020}\ddot{z} = (2\alpha_{200} - \alpha_{111})z \]
sehingga otomatis
\[ 2\alpha_{020} = m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ 2\alpha_{200} - \alpha_{111} = -k \]
alias
\[ \alpha_{020} = (1/2)m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \alpha_{111} = k + 2\alpha_{200} \]
sehingga
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 + \alpha_{200}z^2 + (k + 2\alpha_{200})z\dot{z}t \]
yang lebih umum daripada Lagrangian yang biasa dipakai. Apabila Lagrangian $L$ ini dimasukkan ke dalam persamaan Euler-Lagrange tadi, maka kita peroleh $m\ddot{z} = -kz$. Secara khusus, substitusi $\alpha_{200} = -(1/2)k$ menghasilkan
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 - (1/2)kz^2 \]
yang biasa dikenal.
57
« Tulisan terakhir by cotrans pada Oktober 24, 2021, 01:52:19 AM »
\section{Persamaan Schr\"odinger Relativistik pada Potensial Sumur Tak Hingga}
Andaikan ada tenaga potensial sumur tak hingga satu-dimensi, yaitu $V \in \mathbb{R}$ sedemikian $V = 0$ untuk $|x| < a$, dan $V = +\infty$ untuk $|x| > a$ di mana $V$ bergantung pada posisi $x \in \mathbb{R}$, serta $a \in \mathbb{R}^+$ merupakan setengah dari lebar sumur potensial.
Persamaan Schr\"odinger relativistik satu-dimensi tak gayut waktu di wilayah $|x| < a$ tentu saja adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} - \frac{E^2}{2mc^2}\psi = E\psi \]
alias
\[ \frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\left(1 + \frac{E}{2mc^2}\right)\psi = -k^2\psi \]
di mana $\psi \in \mathbb{R}$ adalah gelombang kebolehjadian, $E \in \mathbb{R}$ adalah tenaga mekanik partikel kuantum, $m \in \mathbb{R}^+$ adalah massa rehat partikel kuantum, $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, dan $k := (\sqrt{2mE}/\hbar)\sqrt{1 + E/(2mc^2)}$ adalah sebuah tetapan.
Penyelesaian persamaan diferensial terakhir adalah
\[ \psi = A\cos kx + B\sin kx \]
di mana $A, B \in \mathbb{C}$ adalah sebarang tetapan.
Nilai $\psi$ di titik $|x| = a$ haruslah nol, sehingga
\[ \psi_x(a) = A\cos ka + B\sin ka = 0 \]
dan
\[ \psi_x(-a) = A\cos ka - B\sin ka = 0. \]
Agar $\psi$ tidak trivial, maka $A$ dan $B$ tidak boleh sama dengan nol, sehingga haruslah
\[ \begin{vmatrix} \cos ka & \sin ka \\ \cos ka & -\sin ka \end{vmatrix} = 0 \]
alias $\sin 2ka = 0$ alias $2ka = n\pi$ di mana $n \in \mathbb{Z}$, sehingga $k = n\pi/(2a)$ alias
\[ \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\sqrt{1 + \frac{E}{2mc^2}} = \frac{n\pi}{2a} \]
alias
\[ E^2 + 2mc^2E - \left(\frac{n\pi\hbar c}{2a}\right)^2 = 0 \]
alias (dengan bantuan rumus abc)
\[ E = c\left(-mc \pm \sqrt{(mc)^2 + \left(\frac{n\pi\hbar}{2a}\right)^2}\right) \]
alias (dengan sedikit manipulasi)
\[ E = E_n = \frac{(n\pi\hbar/2a)^2}{m \pm \sqrt{m^2 + (n\pi\hbar/2ac)^2}} \]
yang merupakan aras-aras tenaga partikel kuantum-relativistik dalam potensial sumur $V$ tersebut.
Limit non-relativistik, yaitu $c \to \infty$, untuk $E_n$ adalah
\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}. \]
Untuk partikel tak bermassa rehat, yaitu untuk $m = 0$, maka diperoleh
\[ E_n = \frac{n\pi\hbar c}{2a} \]
dengan $n$ adalah sebarang bilangan bulat. Besaran $E_n$ pada persamaan terakhir merupakan aras-aras tenaga yang diskrit untuk partikel kuantum-relativistik yang tak bermassa rehat yang berada di dalam sumur potensial tak hingga $V$ tersebut.
58
« Tulisan terakhir by cotrans pada Oktober 09, 2021, 07:05:24 PM »
\section{Potensial Listrik akibat Konduktor Berbentuk Bola Pejal}
Misalkan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ ada sebuah konduktor berbentuk sebuah bola pejal
\[ S^2(R) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| \leq R \} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ yang seluruh muatan $Q \in \mathbb{R}$ -nya terdistribusi merata pada $\partial S^2(R)$ tersebut.
Potensial listrik di titik $\vec{r} := (0, 0, r)$, di mana $r \in \mathbb{R}^+$, tentu saja adalah
\[ \varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{4\pi R^2}\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{R^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \]
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik dalam ruang hampa, dan
\[ \vec{r}' := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) \]
adalah posisi sebarang titik pada $\partial S^2(R)$ tersebut.
Karena
\[ |\vec{r} - \vec{r}'|^2 = R^2\sin^2\theta + (r - R\cos\theta)^2 = R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta, \]
maka
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0}\int_0^\pi \frac{\sin\theta\,d\theta}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}}. \]
Apabila didefinisikan $l^2 = R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta$, dengan $l \in \mathbb{R}^+$, maka $2l\,dl = 2Rr\sin\theta\,d\theta$ alias $\sin\theta\,d\theta = l\,dl/(Rr)$ sehingga
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}\int_{|r - R|}^{r + R} dl \]
alias
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}[(r + R) - |r - R|]. \]
Apabila $r > R$, maka
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}[(r + R) - (r - R)] = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}, \]
serta apabila $r < R$, maka
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}[(r + R) - (R - r)] = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0R} \]
sesuai yang diharapkan.
59
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 27, 2021, 11:52:11 PM »
\section{Metode Bayangan dalam Elektrostatika; Permukaan Bola yang Potensial Listriknya Ditanahkan}
Andaikan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$, ada dua buah muatan listrik $q_1, q_2 \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ yang berturut-turut terletak di posisi $\vec{r}_1 := r_1\hat{z} \in \mathbb{R}^3$ dan $\vec{r}_2 := r_2\hat{z} \in \mathbb{R}^3$ di mana $r_1, r_2 \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.
Posisi seluruh permukaan bola yang berpusat di titik $(0, 0, 0)$ dan berjari-jari $R \in \mathbb{R}^+$ adalah
\[ \vec{r} := R(\hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta) \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $\theta \in [0, \pi]$, dan $\phi \in \{ 0 \}\cup(0, \pi)$.
Kita ingin agar potensial listrik yang diakibatkan oleh kedua muatan tersebut bernilai nol di seluruh permukaan bola tersebut, sehingga
\[ \frac{\kappa q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|} + \frac{\kappa q_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|} = 0 \]
di mana $\kappa := 1/(4\pi\epsilon_0)$ dengan $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik dalam ruang hampa. Di sini, kita diminta untuk mencari kaitan eksplisit antara $r_1, r_2, q_1, q_2$ agar potensial listrik di seluruh permukaan bola tersebut tertanahkan.
Oleh karena itu,
\[ q_1|\vec{r} - \vec{r}_2| = -q_2|\vec{r} - \vec{r}_1| \]
sehingga $q_1$ dan $q_2$ dalam hal ini harus berlawanan tanda.
Pengkuadratan kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan
\[ q_1^2[R^2\sin^2\theta\cos^2\phi + R^2\sin^2\theta\sin^2\phi + (R\cos\theta - r_2)^2] \]
\[ = q_2^2[R^2\sin^2\theta\cos^2\phi + R^2\sin^2\theta\sin^2\phi + (R\cos\theta - r_1)^2] \]
alias
\[ q_1^2(R^2 + r_2^2 - 2Rr_2\cos\theta) = q_2^2(R^2 + r_1^2 - 2Rr_1\cos\theta). \]
Karena persamaan terakhir harus berlaku untuk semua $\theta \in [0, \pi]$, maka haruslah
\[ q_1^2r_2 = q_2^2r_1 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ q_1^2(R^2 + r_2^2) = q_2^2(R^2 + r_1^2). \]
Dari persamaan terakhir, tampak bahwa $r_1$ dan $r_2$ harus bertanda sama.
Tentu saja, $q_2^2 = (r_2/r_1)q_1^2$, sehingga
\[ q_1^2(R^2 + r_2^2) = (r_2/r_1)q_1^2(R^2 + r_1^2) \]
alias
\[ r_1(R^2 + r_2^2) = r_2(R^2 + r_1^2) \]
alias
\[ r_1r_2^2 - (R^2 + r_1^2)r_2 + r_1R^2 = 0 \]
alias (dengan rumus abc)
\[ r_2 = \frac{R^2 + r_1^2 \pm \sqrt{(R^2 + r_1^2)^2 - 4R^2r_1^2}}{2r_1} \]
alias
\[ r_2 = \frac{R^2 + r_1^2 \pm (R^2 - r_1^2)}{2r_1} =: r_2^\pm. \]
Dari sini, kita peroleh
\[ r_2^+ = R^2/r_1 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ r_2^- = r_1. \]
Karena $q_1$ dan $q_2$ harus berlawanan tanda, maka
\[ q_2 = -\sqrt{r_2/r_1}q_1 \]
yang memiliki dua buah nilai yaitu
\[ q_2^\pm := -\sqrt{r_2^\pm/r_1}q_1. \]
Oleh karena itu,
\[ q_2^+ = -(R/|r_1|)q_1 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ q_2^- = -q_1. \]
Jadi, ada dua kemungkinan dari $r_2$ dan $q_2$.
60
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 17, 2021, 05:12:15 PM »
\section{Bentuk Arus yang Sebenarnya dari Tegangan Sinusoidal pada Rangkaian Seri}
Misalkan ada sebuah rangkaian yang terdiri dari sebuah sumber tegangan sinusoidal, yaitu $V := V_0e^{i(\omega t + \phi)} \in \mathbb{R}$, sebuah resistor dengan resistansi $R \in \mathbb{R}^+$, sebuah kapasitor dengan kapasitansi $C \in \mathbb{R}^+$, dan sebuah induktor dengan induktansi $L \in \mathbb{R}^+$ yang semuanya dirangkai seri. Di sini, $V_0, \omega, \phi \in \mathbb{R}$ masing-masing adalah konstanta, $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner satuan, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu. Kita akan mencari arus $I \in \mathbb{R}$ yang bergantung pada $t$.
Dari hukum tegangan Kirchhoff, diperoleh
\[ L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{1}{C}\left(Q_0 + \int_0^t I\,dt\right) = V \]
di mana $Q_0 \in \mathbb{R}$ adalah sebuah konstanta. Karena $I = dQ/dt$, di mana $Q \in \mathbb{R}$ adalah muatan listrik yang bergantung pada $t$ yang mengalir menembus tampang lintang kawat, serta $Q_0$ adalah nilai $Q$ saat $t = 0$, maka persamaan terakhir dapat ditulis menjadi
\[ Ld^2Q/dt^2 + RdQ/dt + C^{-1}Q = V_0e^{i(\omega t + \phi)}. \]
Selanjutnya, $Q$ dapat ditulis sebagai $Q := Q_p + Q_c$ sedemikian rupa sehingga
\[ Ld^2Q_p/dt^2 + RdQ_p/dt + C^{-1}Q_p = V_0e^{i(\omega t + \phi)} \]
serta
\[ Ld^2Q_c/dt^2 + RdQ_c/dt + C^{-1}Q_c = 0. \]
Anzat bagi $Q_p$ adalah $Q_p := Ae^{i(\omega t - \phi)}$ di mana $A \in \mathbb{C}$ adalah tetapan yang akan dicari kemudian. Dengan memasukkan anzat tersebut ke dalam persamaan $Q_p$, diperoleh
\[ (-\omega^2L + i\omega R + C^{-1})A = V_0 \]
sehingga
\[ A = V_0/[\omega(-\omega L + iR + 1/(\omega C))]. \]
Oleh karena itu,
\[ Q_p = V_0e^{i(\omega t + \phi)}/[\omega(-\omega L + iR + 1/(\omega C))]. \]
Penyelesaian umum persamaan $Q_c$ adalah
\[ Q_c = \frac{[(dQ_c/dt)_0 - k_-Q_{c0}]e^{k_+t} + [k_+Q_{c0} - (dQ_c/dt)_0]e^{k_-t}}{k_+ - k_-} \]
di mana
\[ k_\pm := \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4L/C}}{2L} \]
serta $Q_{c0} \in \mathbb{R}$ adalah nilai $Q_c$ saat $t = 0$, dan $(dQ/dt)_0 \in \mathbb{R}$ adalah nilai $dQ_c/dt$ saat $t = 0$. Oleh karena itu,
\[ I = dQ/dt = dQ_p/dt + dQ_c/dt. \]
\[ I = V_0e^{i(\omega t + \phi)}/[R + i(\omega L - 1/(\omega C))] + \frac{k_+[(dQ_c/dt)_0 - k_-Q_{c0}]e^{k_+t} + k_-[k_+Q_{c0} - (dQ_c/dt)_0]e^{k_-t}}{k_+ - k_-}. \]
Impedansi dari rangkaian tersebut adalah $Z := V/I$.
Kasus khusus, apabila $Q_{c0} = 0$ dan $(dQ_c/dt)_0 = 0$, maka
\[ I = V_0e^{i(\omega t + \phi)}/[R + i(\omega L - 1/(\omega C))] \]
sehingga impedansinya adalah
\[ Z = R + i[\omega L - 1/(\omega C)]. \]
Modulus dari $Z$ adalah
\[ |Z| = \sqrt{R^2 + [\omega L - 1/(\omega C)]^2}. \]
Andaikan didefinisikan $X_L := i\omega L$ dan $X_C := 1/(i\omega C)$, maka diperoleh
\[ Z = R + X_L + X_C \]
sesuai dengan yang diharapkan.
Halaman: 1 ... 4 5 [6] 7 8 ... 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 06:27:49 PM
Tulisan Terbaru