Halaman: 1 ... 5 6 [7] 8 9 10
61
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 12, 2021, 07:45:34 PM »
\section{Tegangan pada Induktor Berbentuk Solenoida}
Andaikan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$, ada sebuah solenoida
\[ S(r, l) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 = r^2, z \in [-l/2, l/2] \} \]
di mana $r \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari $S(r, l)$ yang sangat kecil, dan $l \in \mathbb{R}^+$ adalah panjang $S(r, l)$. Medan magnet di pusat solenoida tersebut, yaitu di titik $(0, 0, 0)$, adalah
\[ \vec{B} = (\mu_0IN/l)\hat{z} \in \mathbb{R}^3 \]
yang dianggap bergantung pada posisi $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ dan waktu $t \in \mathbb{R}$, di mana $\mu_0 \in \mathbb{R}^+$ adalah permeabilitas magnet di ruang hampa, $I \in \mathbb{R}$ adalah arus listrik yang hanya bergantung $t$, $N$ adalah jumlah lilitan dari $S(r, l)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$. Lantas,
\[ \partial\vec{B}/\partial t = (\mu_0N/l)\hat{z}dI/dt. \]
Dari hukum Faraday, yaitu
\[ \nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t, \]
di mana $\vec{E} \in \mathbb{R}^3$ adalah medan listrik yang bergantung pada $\vec{r}$ dan $t$, diperoleh
\[ \nabla\times\vec{E} = -(\mu_0N/l)\hat{z}dI/dt. \]
Andaikan ada sebuah cakram
\[ D^2(r) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 \leq r^2, z = 0 \}. \]
Andaikan orientasi arah dari $D^2(r)$ adalah searah dengan $\hat{z}$. Andaikan pula, tegangan listrik sepanjang $\partial D^2(r)$ adalah $\Delta\varphi$.
Dari teorema Stokes, yaitu
\[ \oint_{\partial D^2(r)} \vec{E}\cdot d\vec{r} = \int_{D^2(r)} (\nabla\times\vec{E})\cdot d^2\vec{r}, \]
diperoleh
\[ \oint_{\partial D^2(r)} \vec{E}\cdot d\vec{r} = -(\pi r^2\mu_0N/l)dI/dt \]
sebab
\[ \int_{D^2(r)} \hat{z}\cdot d^2\vec{r} = \pi r^2. \]
Karena tegangan listrik sepanjang $\partial D^2(r)$ adalah
\[ \Delta\varphi := \oint_{\partial D^2(r)} \vec{E}\cdot d\vec{r}, \]
maka diperoleh
\[ \Delta\varphi = -(\pi r^2\mu_0N/l)dI/dt. \]
Besaran $L := -\pi r^2\mu_0N/l$ merupakan induktansi diri pada solenoida $S(r, l)$ sehingga
\[ \Delta\varphi = -LdI/dt. \]
62
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 05, 2021, 01:29:55 AM »
\section{Matriks Pencerminan di Ruang $\mathbb{R}^2$}
Kita akan mencerminkan titik $\vec{r} := (x, y) \in \mathbb{R}^2$ oleh garis $L(\alpha) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ y = x\tan\alpha \}$ di mana $\alpha \in \mathbb{R}$.
Pencerminan titik $\vec{r}$ terhadap garis $L(\alpha)$ menghasilkan titik
\[ \vec{r}' := (x', y') = \vec{r} - 2\hat{v}\times(\vec{r}\times\hat{v}) \]
di mana $\hat{v} := (\cos\alpha, \sin\alpha)$ merupakan vektor satuan yang sejajar garis $L(\alpha)$. Tentu saja,
\[ \vec{r}' = \vec{r} - 2(\vec{r} - \vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v}) \]
alias
\[ \vec{r}' = -\vec{r} + 2\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v} \]
sehingga
\[ (x', y') = -(x, y) + 2(x\cos\alpha + y\sin\alpha)(\cos\alpha, \sin\alpha) \]
yang diuraikan perkomponennya menghasilkan
\[ x' = -x + 2(x\cos^2\alpha + y\sin\alpha\cos\alpha) \]
dan
\[ y' = -y + 2(x\cos\alpha\sin\alpha + y\sin^2\alpha). \]
Ini sama saja mengatakan bahwa
\[ x' = x\cos2\alpha + y\sin2\alpha \]
dan
\[ y' = x\sin2\alpha - y\cos2\alpha. \]
Dalam bentuk matriks, kedua persamaan terakhir menjadi
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \]
Matriks bujur sangkar pada persamaan matrix terakhir merupakan matris pencerminan dari titik $(x, y)$ terhadap garis $L(\alpha)$.
63
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 05, 2021, 12:38:28 AM »
\section{Bentuk Eksplisit dari Semua Anggota Grup $U(2)$ dan $SU(2)$}
Grup $U(2)$ berisi semua matriks kompleks $2\times 2$ yang memiliki invers disertai operasi perkalian matriks biasa yang memenuhi kaitan $AA^\dagger = 1$ untuk semua $A \in U(2)$ di mana $1$ adalah matriks identitas perkalian matriks biasa. Grup $SU(2)$ berisi semua anggota grup $U(2)$ yang memiliki determinan $1$.
Matriks $A$ tersebut dapat dituliskan sebagai
\[ A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
di mana $a, b, c, d$ adalah bilangan-bilangan kompleks.
Dari kaitan $AA^\dagger = 1$, kita peroleh
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^* & c^* \\ b^* & d^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
sehingga $|a|^2 + |b|^2 = 1$, $|c|^2 + |d|^2 = 1$, dan $ac^* + bd^* = 0$. Melalui proses parameterisasi, kita peroleh $a = e^{i\alpha}\cos\beta$, $b = e^{i\gamma}\sin\beta$, $c = e^{i\delta}\cos\epsilon$, dan $d = e^{i\phi}\sin\epsilon$ untuk semua $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \phi \in \mathbb{R}$.
Dari kaitan $ac^* + bd^* = 0$, kita peroleh
\[ e^{i(\alpha - \delta)}\cos\beta\cos\epsilon + e^{i(\gamma - \phi)}\sin\beta\sin\epsilon = 0. \]
Tentu saja, haruslah dipenuhi $\alpha - \delta = \gamma - \phi$ alias $\alpha + \phi = \gamma + \delta = \eta \in \mathbb{R}$, sehingga $\delta = \eta - \gamma$ dan $\phi = \eta - \alpha$. Oleh karena itu, kita peroleh
\[ \cos\beta\cos\epsilon + \sin\beta\sin\epsilon = 0 \]
alias
\[ \cos(\beta - \epsilon) = 0 \]
alias
\[ \epsilon = \beta + (2n + 1)\pi/2 \]
untuk semua $n \in \mathbb{Z}$, sehingga $\cos\epsilon = -(-1)^n\sin\beta = \mp\sin\beta$ dan $\sin\beta = (-1)^n\cos\beta = \pm\cos\beta$.
Jadi, bentuk eksplisit dari semua anggota dari grup $U(2)$ adalah
\[ A = \begin{pmatrix} e^{i\alpha}\cos\beta & e^{i\gamma}\sin\beta \\ \mp e^{i(\eta - \gamma)}\sin\beta & \pm e^{i(\eta - \alpha)}\cos\beta \end{pmatrix} \in U(2) \]
untuk semua $\alpha, \beta, \gamma, \eta \in \mathbb{R}$. Grup $U(2)$ ini memiliki empat buah parameter riil.
Sekarang, kita hendak mencari bentuk eksplisit dari semua anggota grup $SU(2)$. Karena
\[ \begin{vmatrix} e^{i\alpha}\cos\beta & e^{i\gamma}\sin\beta \\ \mp e^{i(\eta - \gamma)}\sin\beta & \pm e^{i(\eta - \alpha)}\cos\beta \end{vmatrix} = 1, \]
maka
\[ \pm e^{i\eta}\cos^2\beta \pm e^{i\eta}\sin^2\beta = 1 \]
alias $\pm e^{i\eta} = 1$ alias $\pm 1 = 1$ dan $\eta = 2n\pi$, sehingga
\[ A = \begin{pmatrix} e^{i\alpha}\cos\beta & e^{i\gamma}\sin\beta \\ -e^{-i\gamma}\sin\beta & e^{-i\alpha}\cos\beta \end{pmatrix} \in SU(2) \]
untuk semua $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$. Grup $SU(2)$ ini memiliki tiga buah parameter riil.
64
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 02, 2021, 10:43:42 PM »
\section{Momen Inersia dari Silinder Pejal terhadap Garis yang Tegak Lurus Sumbu Utama Silinder yang Melalui Pusat Massa Silinder}
Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$, ada sebuah silinder pejal
\[ C(R, L) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 \leq R^2, -L \leq z \leq L \} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari $C(R, L)$, dan $L \in \mathbb{R}^+$ adalah setengah panjang $C(R, L)$.
Posisi sebuah titik di $C(R, L)$ tentu saja adalah
\[ \vec{r} := (x, y, z) = (l\cos\phi, l\sin\phi, z) \in \mathbb{R}^3 \]
di mana $l \in [0, R]$, $\phi \in [0, 2\pi]$, dan $z \in [-L, L]$. Tentu saja, momen inersia $C(R, L)$ terhadap garis $\{ k\hat{x} ~|~ k \in \mathbb{R} \}$, di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, adalah
\[ I = \int_{C(R, L)} (y^2 + z^2)dm \]
di mana $dm := \rho|d^3\vec{r}|$ adalah elemen massa dari $C(R, L)$, $\rho \in \mathbb{R}$ adalah rapat massa konstan dari $C(R, L)$, dan $d^3\vec{r} := l\,d\phi\wedge dl\wedge dz$ adalah elemen volume dari $C(R, L)$. Oleh karena itu,
\[ I = \rho\int_{-L}^L \int_0^R \int_0^{2\pi} (l^2\sin^2\phi + z^2)l\,d\phi\,dl\,dz. \]
\[ I = \rho\int_{-L}^L \int_0^R (\pi l^2 + 2\pi z^2)l\,dl\,dz. \]
\[ I = \rho\pi\int_{-L}^L \int_0^R (l^3 + 2z^2l)dl\,dz. \]
\[ I = \rho\pi\int_{-L}^L [(1/4)R^4 + z^2R^2]dz. \]
\[ I = \rho\pi[(1/4)R^42L + (2/3)L^3R^2]. \]
Karena $\rho = M/(\pi R^22L)$ di mana $M \in \mathbb{R}^+$ adalah massa dari $C(R, L)$, maka
\[ I = \frac{M\pi}{\pi R^22L}[(1/2)R^4L + (2/3)L^3R^2]. \]
\[ I = (1/2)M[(1/2)R^2 + (2/3)L^2]. \]
Karena panjang $C(R, L)$ adalah $L' := 2L$, maka
\[ I = (1/2)M[(1/2)R^2 + (1/6)L'^2] = (1/12)M(3R^2 + L'^2). \]
Inilah momen inersia yang dimaksud di atas.
65
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 02, 2021, 06:35:09 PM »
\section{Pembuktian Teorema Sumbu Sejajar}
Momen inersia sebuah benda $M \subseteq \mathbb{R}^3$ terhadap sumbu putar $L := \{ k\hat{v} ~|~ k \in \mathbb{R} \}$, di mana $\hat{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah sebarang vektor satuan yang konstan, adalah
\[ I = \int_M |\vec{r}\times\hat{v}|^2 dm \]
di mana $\vec{r} \in M$, $dm := \rho\,|d^3\vec{r}|$ adalah elemen massa dari $M$, $\rho \in \mathbb{R}$ adalah rapat massa per satuan volum, dan $d^3\vec{r}$ adalah elemen volum dari $M$.
Pusat massa dari $M$ tentu saja adalah
\[ \vec{r}_{\text{cm}} := \left(\int_M \vec{r}\,dm\right)\left/\left(\int_M dm\right)\right. \]
yang konstan.
Posisi titik pada $M$ relatif terhadap pusat massa adalah $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{r}_{\text{cm}}$, sehingga
\[ I = \int_M |(\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{r}')\times\hat{v}|^2dm. \]
\[ I = \int_M \left(|\vec{r}_{cm}\times\hat{v}|^2 + |\vec{r}'\times\hat{v}|^2 + 2(\vec{r}_{\text{cm}}\times\hat{v})\cdot(\vec{r}'\times\hat{v})\right)dm. \]
Karena
\[ \int_M \vec{r}'\times\hat{v}dm = \int_M (\vec{r} - \vec{r}_{\text{cm}})\times\hat{v}\,dm \]
\[ = \int_M \left(\vec{r} - \frac{\int_M \vec{r}\,dm}{\int_M dm}\right)\times\hat{v}\,dm = \int_M \vec{r}\times\hat{v}\,dm - \int_M \vec{r}\times\hat{v}\,dm = \vec{0}, \]
maka
\[ I = |\vec{r}_{\text{cm}}\times\hat{v}|^2\int_M dm + \int_M |\vec{r}'\times\hat{v}|^2dm. \]
Andaikan $|\vec{r}_{\text{cm}}\times\hat{v}| =: l$ dan $\int_M dm = m$ serta $\int_M |\vec{r}'\times\hat{v}|^2dm =: I_{\text{cm}}$, maka
\[ I = ml^2 + I_{\text{cm}} \]
yang mengatakan bahwa momen inersia dari $M$ yang bermassa $m$ terhadap garis $L$ sama dengan jumlahan dari momen inersia dari $M$ terhadap garis $L'$ yang sejajar $L$ yang melalui pusat massa $\vec{r}_{\text{cm}}$ dengan perkalian antara $m$ dan kuadrat dari jarak garis $L$ dan $L'$.
66
« Tulisan terakhir by Roni pada Juli 21, 2021, 10:50:55 PM »
\section{Swa-Nilai Operator Spin pada Partikel yang Dipengaruhi oleh Medan Magnet dengan Arah Tertentu}
Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah medan magnet seragam $\vec{B} := B_0\vec{n} \in \mathbb{R}^3$ di mana $B_0 \in \mathbb{R}$ dan $\vec{n} := \vec{B}/|\vec{B}| = (n_x, n_y, n_z) \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor satuan. Misalkan pula ada partikel kuantum yang dipengaruhi oleh $\vec{B}$ tersebut yang diwakili oleh fungsi gelombang $\psi \in C^\infty(\mathbb{R}^3, \mathbb{C})$ yang apabila dikenai operator vektor momentum sudut spin $\hat{\vec{S}} := (\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z) \,:\, C^\infty(\mathbb{R}^3, \mathbb{C}) \to C^\infty(\mathbb{R}^3, \mathbb{C})$ memiliki swa-nilai sedemikian rupa sehingga
\[ \vec{n}\cdot\hat{\vec{S}}\psi = \vec{n}\cdot\vec{S}\psi ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ |\hat{\vec{S}}|^2\psi = |\vec{S}|^2\psi \]
sedemikian $\vec{n}\cdot\vec{S} = m_s\hbar$ dan $|\vec{S}|^2 = s(s + 1)\hbar^2$, di mana $s \in (1/2)\mathbb{N}$ adalah bilangan kuantum spin, $m_l \in \{ -s, -s + 1, -s + 2, \cdots, s - 2, s - 1, s \}$ adalah bilangan kuantum magnetik spin, dan $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi. Oleh karena itu,
\[ n_xS_x + n_yS_y + n_zS_z = m_s\hbar ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 = s(s + 1)\hbar^2 \]
sehingga melalui proses parameterisasi, diperoleh
\[ S_x = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta\cos\phi, \]
\[ S_y = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta\sin\phi, \]
\[ S_z = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\cos\theta, \]
di mana $\theta, \phi \in \mathbb{R}$. Selanjutnya,
\[ (n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)\sin\theta + n_z\cos\theta = m_s/\sqrt{s(s + 1)} \]
alias
\[ \sqrt{n_z^2 + (n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)^2}\cos[\theta - \arctan_2(n_z, n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)] = m_s/\sqrt{s(s + 1)} \]
alias
\[ \theta = 2n\pi + \arctan_2(n_z, n_x\cos\phi + n_y\sin\phi) \pm \arccos[m_s/(\sqrt{s(s + 1)}\sqrt{n_z^2 + (n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)^2})] =: \theta_\phi \]
di mana $n$ adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, nilai $S_x, S_y, S_z$ adalah
\[ S_x = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta_\phi\cos\phi, \]
\[ S_y = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta_\phi\sin\phi, \]
\[ S_z = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\cos\theta_\phi. \]
Apabila $\vec{n} = (0, 0, 1)$, maka diperoleh
\[ S_x = \pm\hbar\sqrt{s(s + 1) - m_s^2}\cos\phi, \]
\[ S_y = \pm\hbar\sqrt{s(s + 1) - m_s^2}\sin\phi, \]
\[ S_z = \hbar m_s, \]
sesuai yang diharapkan.
67
« Tulisan terakhir by Roni pada Juli 10, 2021, 01:38:39 PM »
\section{Wakilan Vektor Singgung dan Vektor Normal dari Sebuah Permukaan}
Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah permukaan
\[ S(\varphi) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ \varphi(\vec{r}) = 0 \} \]
di mana $\varphi \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu. Tentu saja, posisi sebuah titik pada $S(\varphi)$ adalah $\vec{r} := (x, y, z) \in S(\varphi)$ yang bergantung pada dua buah koordinat umum sebagai parameter dari $S(\varphi)$, misalnya $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Kita akan membuktikan bahwa $\partial\vec{r}/\partial\alpha$ adalah sebuah vektor singgung di titik $\vec{r}$, sedangkan $\nabla\varphi(\vec{r})$ adalah sebuah vektor normal di titik $\vec{r}$. Karena $\varphi(\vec{r}) = 0$, maka tentu saja $\partial\varphi(\vec{r})/\partial\alpha = 0$, sehingga
\[ \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial\alpha} = \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\alpha} + \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha} + \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial\alpha} = 0 \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{r}}{\partial\alpha}\cdot\nabla\varphi(\vec{r}) = 0. \]
Tampak bahwa pada persamaan terakhir, $\partial\vec{r}/\partial\alpha$ dan $\nabla\varphi(\vec{r})$ saling tegak lurus, sehingga $\partial\vec{r}/\partial\alpha$ merupakan salah satu vektor singgung pada $S(\varphi)$ di titik $\vec{r}$, sedangkan $\nabla\varphi(\vec{r})$ adalah salah satu vektor normal pada $S(\varphi)$ di titik $\vec{r}$.
68
« Tulisan terakhir by Roni pada Juli 06, 2021, 07:47:26 PM »
\section{Membalik Transformasi Dilatasi Titik oleh Bidang}
Titik $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ yang di-dilatasi dengan faktor $k \in \mathbb{R}$ oleh bidang datar $\{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\vec{N} = 0 \}$, di mana $\vec{N}, \vec{r}_0 \in \mathbb{R}^3$, akan memiliki bayangan
\[ \vec{r}' := (x', y', z') = \vec{r} + (k - 1)(\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}\hat{N}. \]
Di sini, $\hat{N} := \vec{N}/|\vec{N}| = (N_x, N_y, N_z)$.
\[ \vec{r}' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}\hat{N} = \vec{r} + (k - 1)\vec{r}\cdot\hat{N}\hat{N}. \]
Penguraian persamaan terakhir ke dalam ketiga komponennya menghasilkan
\[ \alpha_x := x' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}N_x = x + (k - 1)(N_xx + N_yy + N_zz)N_x, \]
\[ \alpha_y := y' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}N_y = y + (k - 1)(N_xx + N_yy + N_zz)N_y, \]
\[ \alpha_z := z' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}N_z = z + (k - 1)(N_xx + N_yy + N_zz)N_z. \]
Dengan sedikit pengaturan, ketiga persamaan terakhir menjadi
\[ [1 + (k - 1)N_x^2]x + (k - 1)N_yN_xy + (k - 1)N_zN_xz = \alpha_x, \]
\[ (k - 1)N_xN_yx + [1 + (k - 1)N_y^2]y + (k - 1)N_zN_yz = \alpha_y, \]
\[ (k - 1)N_xN_zx + (k - 1)N_yN_zy + [1 + (k - 1)N_z^2]z = \alpha_z. \]
Penyajian matriks dari ketiga persamaan terakhir menghasilkan
\[ \begin{pmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & (k - 1)N_yN_x & (k - 1)N_zN_x \\ (k - 1)N_xN_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & (k - 1)N_zN_y \\ (k - 1)N_xN_z & (k - 1)N_yN_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{pmatrix}. \]
Andaikan didefinisikan determinan
\[ \Delta := \begin{vmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & (k - 1)N_yN_x & (k - 1)N_zN_x \\ (k - 1)N_xN_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & (k - 1)N_zN_y \\ (k - 1)N_xN_z & (k - 1)N_yN_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{vmatrix}, \]
\[ \Delta_x := \begin{vmatrix} \alpha_x & (k - 1)N_yN_x & (k - 1)N_zN_x \\ \alpha_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & (k - 1)N_zN_y \\ \alpha_z & (k - 1)N_yN_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{vmatrix}, \]
\[ \Delta_y := \begin{vmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & \alpha_x & (k - 1)N_zN_x \\ (k - 1)N_xN_y & \alpha_y & (k - 1)N_zN_y \\ (k - 1)N_xN_z & \alpha_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{vmatrix}, \]
\[ \Delta_z := \begin{vmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & (k - 1)N_yN_x & \alpha_x \\ (k - 1)N_xN_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & \alpha_y \\ (k - 1)N_xN_z & (k - 1)N_yN_z & \alpha_z \end{vmatrix}, \]
maka diperoleh
\[ \Delta = k, \]
\[ x = \Delta_x/\Delta = x' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}N_x, \]
\[ y = \Delta_y/\Delta = y' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}N_y, \]
\[ z = \Delta_z/\Delta = z' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}N_z, \]
sehingga penggabungan ketiga persamaan terakhir menjadi
\[ \vec{r} = \vec{r}' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}\hat{N}. \]
Inilah transformasi baliknya.
69
« Tulisan terakhir by Roni pada Juli 06, 2021, 04:38:36 PM »
\section{Pembuktian Teorema Pappus-Guldin}
Kita akan membuktikan teorema Pappus-Guldin.
Misalkan di bidang $\mathbb{R}^2$ ada sebuah daerah $A \subset \mathbb{R}^2$ dan sebuah garis lurus $L := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ ax + by + c = 0 \}$ di mana $a, b, c \in \mathbb{R}$ sedemikian $A\cap L = \emptyset$.
Volume benda putar yang terjadi apabila daerah $A$ diputar satu putaran penuh dengan sumbu putar garis $L$ adalah
\[ V = 2\pi\int_A \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}|dx\wedge dy|. \]
\[ V = 2\pi\frac{\displaystyle \int_A \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|}\int_A |dx\wedge dy|. \]
Karena $A\cap L = \emptyset$, maka nilai $|ax + by + c|$ selalu $\pm(ax + by + c)$ untuk setiap $(x, y) \in A$, sehingga tanda integral dapat masuk ke dalam tanda nilai mutlak. Oleh karena itu,
\[ V = 2\pi\frac{\displaystyle \left|a\frac{\displaystyle \int_A x|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} + b\frac{\displaystyle \int_A y|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} + c\frac{\displaystyle \int_A|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|}\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\int_A |dx\wedge dy|. \]
Oleh karena itu,
\[ V = 2\pi\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\int_A |dx\wedge dy| \]
di mana
\[ x_0 := \frac{\displaystyle \int_A x|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ y_0 := \frac{\displaystyle \int_A y|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} \]
sedemikian $(x_0, y_0)$ adalah pusat massa dari daerah $A$.
Jadi, teorema Pappus-Guldin menyatakan bahwa volume benda putar yang diperoleh dengan cara memutar daerah $A$ satu putaran penuh terhadap sumbu putar $L$ adalah hasil kali panjang lintasan putar dari pusat massa daerah $A$ dengan luas daerah $A$.
70
« Tulisan terakhir by Roni pada Juni 22, 2021, 08:17:34 PM »
\section{Kecepatan Partikel menurut Lukson}
Lukson merupakan partikel yang bergerak dengan kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Andaikan kecepatan lukson menurut pengamat $O$ adalah $\vec{V} := V\hat{V}$ di mana $V = c$ dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, dan $\hat{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah sebarang vektor satuan. Andaikan pula kecepatan suatu partikel menurut $O$ adalah $\vec{v} := v\hat{v}$ di mana $v \in \mathbb{R}^+\cup\{ 0 \}$ dan $\hat{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah sebarang vektor satuan pula. Oleh karena itu kecepatan partikel tersebut menurut lukson tadi adalah
\[ \vec{v}' := \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\Gamma := 1/\sqrt{1 - (V/c)^2}$, sehingga
\[ \vec{v}' = \frac{(\vec{v} - \vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V})/\Gamma + \vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \vec{V}}{1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2}. \]
Karena untuk $V = c$ berlaku $1/\Gamma = 0$, maka
\[ \vec{v}' = \frac{v\hat{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - c\hat{V}}{1- (v/c)\hat{v}\cdot\hat{V}} = -c\hat{V}. \]
Jadi, sebarang partikel akan teramati sebagai lukson oleh lukson.
Halaman: 1 ... 5 6 [7] 8 9 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 06:33:55 PM
Tulisan Terbaru