Halaman: 1 ... 7 8 [9] 10
81
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 21, 2021, 03:55:48 PM »
\section{Volume Sebuah Limas Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^3$}
Mula-mula, saya akan mencari volume sebuah limas sebarang dengan luas alas $A \in \mathbb{R}^+$ dan tinggi $T \in \mathbb{R}^+$. Volume limas tersebut adalah
\[ V = \int_0^T A' dx \]
di mana $A' := Ax^2/T^2$, sehingga
\[ V = \frac{A}{T^2}\int_0^x x^2 dx = \frac{A}{T^2}\frac{1}{3}T^3 = \frac{1}{3}AT. \]
Kemudian, saya akan mencari volume sebuah limas segitiga yang titik-titik sudutnya adalah $\vec{a} := (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3$, $\vec{b} := (b_1, b_2, b_3) \in \mathbb{R}^3$, $\vec{c} := (c_1, c_2, c_3) \in \mathbb{R}^3$, dan $\vec{d} := (d_1, d_2, d_3) \in \mathbb{R}^3$ di ruang $\mathbb{R}^3$. Volume tersebut adalah
\[ V = \frac{1}{3}|((\vec{b} - \vec{a})\times(\vec{c} - \vec{a}))\cdot(\vec{d} - \vec{a})|. \]
\[ V = \frac{1}{3}|(\vec{b}\times\vec{c} + \vec{a}\times\vec{b} + \vec{c}\times\vec{a})\cdot(\vec{d} - \vec{a})|. \]
\[ V = \frac{1}{3}|[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] - [\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}] + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}] - [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| \]
di mana $[\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}] := (\vec{p}\times\vec{q})\cdot\vec{r}$.
Ternyata, ungkapan $V$ yang terakhir ini dapat diringkas menjadi
\[ V = \frac{1}{3}\left|\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 & 1 \\ c_1 & c_2 & c_3 & 1 \\ d_1 & d_2 & d_3 & 1 \end{vmatrix}\right|. \]
Inilah volume limas segitiga tersebut.
82
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 07, 2021, 07:14:55 PM »
\section{Luas Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$}
Luas segitiga di ruang $\mathbb{R}^n$ yang ketiga titik sudutnya $\vec{a} := \sum_{i = 1}^n a_i\hat{x}_i$, $\vec{b} := \sum_{i = 1}^n b_i\hat{x}_i$, dan $\vec{c} := \sum_{i = 1}^n c_i\hat{x}_i$ di mana $a_i, b_i, c_i \in \mathbb{R}$ untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$, serta
\[ \hat{x}_i := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{i}{1}, 0, \cdots, 0}}), \]
adalah
\[ \Delta := \frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{a}|. \]
\[ \Delta = \frac{1}{2}\left|\sum_{i, j = 1}^n a_ib_j\hat{x}_i\times\hat{x}_j + \sum_{i, j = 1}^n b_ic_j\hat{x}_i\times\hat{x}_j + \sum_{i, j = 1}^n c_ia_j\hat{x}_i\times\hat{x}_j\right|. \]
\[ \Delta = \frac{1}{2}\left|\sum_{i, j = 1}^n (a_ib_j + b_ic_j + c_ia_j)\hat{x}_i\times\hat{x}_j\right|. \]
\[ \Delta = \frac{1}{2}\left[\sum_{i, j = 1}^n (a_ib_j + b_ic_j + c_ia_j)(\hat{x}_i\times\hat{x}_j)\cdot\sum_{k, l = 1}^n (a_kb_l + b_kc_l + c_ka_l)(\hat{x}_k\times\hat{x}_l)\right]^{1/2}. \]
\[ \Delta = \frac{1}{2}\left[\sum_{i, j, k , l = 1}^n (a_ib_j + b_ic_j + c_ia_j)(a_kb_l + b_kc_l + c_ka_l)(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})\right]^{1/2}. \]
\[ \Delta = \frac{1}{2}\left[\sum_{i, j = 1}^n (a_ib_j + b_ic_j + c_ia_j)[(a_ib_j + b_ic_j + c_ia_j) - (a_jb_i + b_jc_i + c_ja_i)]\right]^{1/2}. \]
Apabila $n = 1$, maka $\Delta = 0$.
Apabila $n = 2$, maka
\[ \Delta = \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix}\right|. \]
Apabila $n = 3$, maka
\[ \Delta = \frac{1}{2}\left[\begin{vmatrix} 1 & a_2 & a_3 \\ 1 & b_2 & b_3 \\ 1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} a_1 & 1 & a_3 \\ b_1 & 1 & b_3 \\ c_1 & 1 & c_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix}^2\right]^{1/2}. \]
83
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 05, 2021, 10:10:43 AM »
\section{Mekanika Kuantum Relatif}
Pada kesempatan ini, saya hendak menerangkan pengertian mekanika kuantum relatif.
Mekanika kuantum relatif yang dimaksud di sini berbeda dalam hal konseptual dengan mekanika kuantum relativistik. Yang dimaksud dengan mekanika kuantum relatif adalah bahwa persamaan gerak Schrodinger itu bersifat relatif, yaitu bahwa partikel yang mana yang dianggap bersifat probabilistik yang diwakili oleh gelombang kebolehjadian relatif milik partikel tertentu.
Berikut ini adalah contoh kongkretnya.
Andaikan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ hanya ada dua buah partikel, yaitu proton dan elektron yang berinteraksi listrik statik Coulomb.
Persamaan Schrodinger non-relativistik yang menganggap elektron bersifat probabilistik terhadap proton adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_e^2\Psi_e - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}_e - \vec{r}_p|}\Psi_e = i\hbar\frac{\partial\Psi_e}{\partial t} \]
di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $m_e$ adalah massa elektron, $\nabla_e := \partial/\partial\vec{r}_e$ adalah operator vektor gradien milik elektron, $\vec{r}_e, \vec{r}_p \in \mathbb{R}^3$ berturut-turut adalah posisi elektron dan proton, $\Psi_e \in \mathbb{C}$ adalah gelombang kebolehjadian elektron yang bergantung pada $\vec{r}_e$ dan waktu $t$, $e$ adalah muatan satu buah proton, dan $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik dalam ruang hampa.
Persamaan Schrodinger non-relativistik yang menganggap proton bersifat probabilistik terhadap elektron adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m_p}\nabla_p^2\Psi_p - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}_p - \vec{r}_e|}\Psi_p = i\hbar\frac{\partial\Psi_p}{\partial t} \]
di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $m_p$ adalah massa proton, $\nabla_p := \partial/\partial\vec{r}_p$ adalah operator vektor gradien milik proton, $\vec{r}_e, \vec{r}_p \in \mathbb{R}^3$ berturut-turut adalah posisi elektron dan proton, $\Psi_p \in \mathbb{C}$ adalah gelombang kebolehjadian proton yang bergantung pada $\vec{r}_p$ dan waktu $t$, $e$ adalah muatan satu buah proton, dan $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik dalam ruang hampa.
Dengan demikian, mekanika kuantum bersifat relatif.
84
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 29, 2021, 02:34:45 PM »
\section{Daerah Konvergensi Deret Taylor}
Misalkan ada sebuah fungsi $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Deret Taylor dari $f(x)$ di sekitar titik $h \in \mathbb{R}$ adalah
\[ f(x) = \sum_{j = 0}^\infty \frac{1}{j!}f^{(j)}(h)(x - h)^j \]
di mana didefinisikan
\[ f^{(j)}(h) := \lim_{x \to h}\frac{d^jf(x)}{dx^j}. \]
Menurut tes rasio, deret $\sum_{j = 0}^\infty u_j$ (di mana $u_j \in \mathbb{R}$ untuk setiap $j \in \mathbb{N}_0$) bersifat konvergen apabila
\[ \lim_{j \to \infty} \left|\frac{u_{j + 1}}{u_j}\right| < 1. \]
sehingga deret Taylor dari $f(x)$ tersebut bersifat konvergen apabila
\[ \lim_{j \to \infty} \left|\frac{1}{j + 1}\frac{f^{(j + 1)}(h)}{f^{(j)}(h)}(x - h)\right| < 1 \]
alias
\[ |x - h| < \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| \]
alias
\[ -\lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| < x - h < \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| \]
alias
\[ h - \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| < x < h + \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right|. \]
Inilah daerah konvergensi deret Taylor dari $f(x)$.
85
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 21, 2021, 03:08:37 PM »
\section{Bentangan Sejumlah Vektor}
Bentangan dari $m$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^n$ itu merupakan sebuah lokus (tempat kedudukan) manifold linier berdimensi $q$ yang dibentang oleh $m$ buah vektor tersebut yang merupakan himpunan bagian dari atau sama dengan $\mathbb{R}^n$, yang dengan kata lain adalah $q \leq n$.
Andaikan ada $m$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^n$, yaitu $\vec{a}_i := \sum_{j = 1}^n a_{ij}\hat{x}_{j}$ (dengan $a_{ij} \in \mathbb{R}$) untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, di mana
\[ \hat{x}_j := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{j}{1}, 0, \cdots, 0}}) \]
Misalnya, didefinisikan multipel produk skalar dari $k$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^k$, yaitu
\[ [\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_k] := \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{k1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1k} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}. \]
Misalkan pula didefinisikan multipel produk skalar dari $k$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^p$ di mana $p > k$, yaitu
\[ [\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_k] := \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{k1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1k} & \cdots & b_{kk} \end{vmatrix} \]
di mana $b_{ij} \in \mathbb{R}$ dipilih dari $a_{ij}$ sedemikian $j \in \{ 1, \cdots, p \}$ untuk semua pemilihan.
Andaikan ada sebuah vektor posisi $\vec{r} := (x_1, \cdots, x_n)$ dengan $x_i \in \mathbb{R}$ untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.
Bentangan dari $\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \}$ dinyatakan sebagai $\operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \}$.
Mula-mula, andaikan $m = n$.
Apabila $[\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n] \neq 0$, maka $\operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \} = \mathbb{R}^n$.
Apabila $[\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n] = 0$, maka
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1}, \vec{r}] = 0 \} \]
dengan $\vec{b}_i \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \}$ yang berbeda satu sama lain untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n - 1 \}$.
Apabila $[\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1}, \vec{r}] = 0$, maka
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{c}_1, \cdots, \vec{c}_{n - 2}, \vec{r}] = 0 \} \]
dengan $\vec{c}_i \in \{ \vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1} \}$ yang berbeda satu sama lain untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n - 2 \}$.
Proses ini berlangsung hingga seterusnya.
Andaikan sekarang, $m > n$.
Apabila terdapat $\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_n \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \}$ yang berbeda satu sama lain yang memenuhi $[\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_n] \neq 0$, maka $\operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \} = \mathbb{R}^n$.
Apabila semua $\vec{b}_1, \cdots \vec{b}_n \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \}$ yang berbeda satu sama lain memenuhi $[\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_n] = 0$, maka
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1}, \vec{r}] = 0 \} \]
dengan $\vec{b}_i \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \}$ yang berbeda satu sama lain untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n - 1 \}$.
Proses ini berlangsung hingga seterusnya seperti pada kasus $m = n$.
Sekarang, andaikan $m = n - 1$.
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_{n - 1}, \vec{r}] = 0 \} \]
asalkan $[\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_{n - 1}, \vec{r}] \neq 0$.
Proses ini berlangsung hingga seterusnya seperti pada kasus $m = n$.
Andaikan $m = n - 2$ atau $m = n - 3$ atau seterusnya, maka prosesnya serupa seperti pada kasus $m = n$.
86
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 18, 2021, 12:33:51 AM »
AKHIRNYA !! ROMO ASLI JAWAB MUALAF NATALIA IRIANI - JAWABAN YANG BUAT MUALAF GULUNG TIKAR
87
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 18, 2021, 12:22:23 AM »
88
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 15, 2021, 08:32:09 PM »
\section{Volume Bangun Ruang yang Dibatasi oleh Silinder dan Bidang Datar}
Misalkan ada sebuah silinder pejal
\[ S := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ 4x^2 + y^2 \leq a^2 \} \]
di mana $a \in \mathbb{R}^+$.
Misalkan ada sebuah daerah
\[ Z := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z \geq 0 \}. \]
Misalkan ada sebuah daerah
\[ Y := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ y \geq 0 \}. \]
Misalkan ada sebuah daerah
\[ D := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z \leq my \} \]
di mana $m \in \mathbb{R}^+$.
Kita diminta untuk mencari volume dari $K := S\cap Z\cap Y\cap D$.
Kita dapat menuliskan
\[ 4x^2 + y^2 = s^2 \]
di mana $0 \leq s \leq a$.
Melalui parameterisasi, kita peroleh
\[ x = (1/2)s\cos\alpha, ~~~~~ y = s\sin\alpha, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ z = t \]
di mana $\alpha \in [0, 2\pi]$. Tentu saja, haruslah $t \geq 0$.
Tentu saja, haruslah $s\sin\alpha \geq 0$ sehingga $\sin\alpha \geq 0$ karena $s \geq 0$ yang mengharuskan $0 \leq \alpha \leq \pi$ karena $\alpha \in [0, 2\pi]$. Haruslah pula, $0 \leq t \leq ms\sin\alpha$.
Elemen volume berarah infinitesimal kecil yang menyusun $K$ adalah
\[ dx\wedge dy\wedge dz = \begin{vmatrix} \partial x/\partial s & \partial x/\partial\alpha & \partial x/\partial t \\ \partial y/\partial s & \partial y/\partial\alpha & \partial y/\partial t \\ \partial z/\partial s & \partial z/\partial\alpha & \partial z/\partial t \end{vmatrix}ds\wedge d\alpha\wedge dt \]
alias
\[ dx\wedge dy\wedge dz = (1/2)s\,ds\wedge d\alpha\wedge dt. \]
Oleh karena itu, volume dari $K$ adalah
\[ V = \int_K |dx\wedge dy\wedge dz|. \]
\[ V = \frac{1}{2}\int_0^a \int_0^\pi \int_0^{ms\sin\alpha} s\,dt\,d\alpha\,ds. \]
\[ V = \frac{1}{2}\int_0^a \int_0^\pi s^2\sin\alpha\,d\alpha\,ds = m\int_0^a s^2ds = \frac{1}{3}ma^3. \]
89
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 13, 2021, 10:55:48 PM »
\section{Luas Sebuah Kerucut yang Dibatasi oleh Sebuah Silinder . Sebuah Contoh}
Misalkan ada sebuah permukaan kerucut
\[ K := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 = 3z^2 \}. \]
Misalkan ada sebuah daerah
\[ D := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z \geq 0 \}. \]
Misalkan ada sebuah silinder pejal
\[ S := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + (y - 2)^2 \leq 4 \}. \]
Kita diminta untuk mencari luas dari $K\cap D\cap S$.
Melalui proses parameterisasi dari $K$, kita peroleh
\[ x = \sqrt{3}r\cos\alpha, ~~~~~ y = \sqrt{3}r\sin\alpha, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ z = r, \]
di mana $r \in \mathbb{R}$ dan $\alpha \in [0, 2\pi]$.
Tentu saja haruslah $r \geq 0$.
Untuk mencari batas-batas yang sebenarnya dari $r$ dan $\alpha$, kita lakukan perhitungan
\[ 3r^2\cos^2\alpha + (\sqrt{3}r\sin\alpha - 2)^2 \leq 4 \]
alias
\[ 3r^2 - 4\sqrt{3}r\sin\alpha \leq 0 \]
alias
\[ r(\sqrt{3}r - 4\sin\alpha) \leq 0. \]
Karena tadi sudah ditetapkan $r \geq 0$, maka haruslah
\[ 0 \leq r \leq (4/\sqrt{3})\sin\alpha \]
untuk $0 \leq \alpha \leq \pi$.
Kita tinggal menghitung $|d^2\vec{r}|$, di mana $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor posisi yang bergantung pada $r$ dan $\alpha$.
Tentu saja,
\[ d^2\vec{r} := \hat{x}dy\wedge dz + \hat{y}dz\wedge dx + \hat{z}dx\wedge dy \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.
Dengan menggunakan Jacobian, kita peroleh
\[ d^2\vec{r} = \left(\hat{x}\begin{vmatrix} \partial y/\partial r & \partial y/\partial\alpha \\ \partial z/\partial r & \partial z/\partial\alpha \end{vmatrix} + \hat{y}\begin{vmatrix} \partial z/\partial r & \partial z/\partial\alpha \\ \partial x/\partial r & \partial x/\partial\alpha \end{vmatrix} + \hat{z}\begin{vmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\alpha \\ \partial y/\partial r & \partial y/\partial\alpha \end{vmatrix}\right)dr\wedge d\alpha \]
alias
\[ |d^2\vec{r}| = 2\sqrt{3}r\,dr\,d\alpha. \]
Tentu saja luas dari $K\cap D\cap S$ adalah
\[ A := \int_{K\cap D\cap S} |d^2\vec{r}| \]
alias
\[ A = 2\sqrt{3}\int_0^\pi \int_0^{(4/\sqrt{3})\sin\alpha} r\,dr\,d\alpha \]
alias
\[ A = \frac{16}{3}\sqrt{3}\int_0^\pi \sin^2\alpha\,d\alpha = \frac{8}{3}\sqrt{3}\pi. \]
Sepintas metode ini sangat berbeda dengan metode pada umumnya, dan cenderung sangat bertele-tele. Namun demikian, metode ini telah terbukti sangat ampuh untuk menghitung luas permukaan lengkung yang tidak dapat dihitung dengan metode pada umumnya, serta integralnya cenderung lebih mudah dihitung daripada integral yang muncul dalam metode pada umumnya.
90
« Tulisan terakhir by Roni pada Maret 05, 2021, 04:55:44 PM »
\section{Penyelesaian Persamaan Schrodinger Relativistik untuk Tenaga Potensial Konstan}
Persamaan Schrodinger relativistik adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) + V\left(\Psi - \frac{1}{2mc^2}\left(V\Psi - 2i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)\right) = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \]
di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $m \in \mathbb{R}$ adalah massa rehat partikel yang mewakili gelombang kebolehjadian, $\Psi \in \mathbb{C}$ adalah gelombang kebolehjadian yang bergantung pada posisi $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ dan waktu $t \in \mathbb{R}$, dan $V \in \mathbb{R}$ adalah tenaga potensial yang konstan.
Andaikan $\Psi := \psi T$ di mana $\psi \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $\vec{r}$, dan $T \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $t$, maka
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{\psi}\nabla^2\psi - \frac{1}{c^2T}\frac{d^2T}{dt^2}\right) + V\left(1 - \frac{1}{2mc^2}\left(V - 2i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}\right)\right) = i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} \]
alias
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\nabla^2\psi = -\frac{\hbar^2}{2mc^2}\frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} \]
\[ - V\left(1 - \frac{1}{2mc^2}\left(V - 2i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}\right)\right) \]
\[ + i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m}k^2 \]
di mana $k \in \mathbb{C}$ adalah tetapan pemisahan variabel $\vec{r}$ dan $t$.
Selanjutnya,
\[ \frac{1}{\psi}\nabla^2\psi = \frac{1}{c^2}\frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} + \frac{2m}{\hbar^2}V\left(1 - \frac{1}{2mc^2}\left(V - 2i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}\right)\right) \]
\[ - \frac{2im}{\hbar}\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = k^2. \]
Persamaan yang hanya mengandung $\vec{r}$ adalah
\[ \nabla^2\psi = k^2\psi \]
alias
\[ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = k^2\psi. \]
Apabila $\psi := XYZ$ di mana $X \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $x$, $Y \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $y$, dan $Z \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $z$, maka
\[ \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = k^2 \]
yang dipecah menjadi tiga buah persamaan, yaitu
\[ \frac{d^2X}{dx^2} = k_x^2, ~~~~~ \frac{d^2Y}{dy^2} = k_y^2, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{d^2Z}{dz^2} = k_z^2 \]
sedemikian $k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2$. Penyelesaian umumnya adalah
\[ X = X_+e^{k_xx} + X_-e^{-k_xx} =: X_{k_x}, \]
\[ Y = Y_+e^{k_yy} + Y_-e^{-k_yy} =: Y_{k_y}, \]
\[ Z = Z_+e^{k_zz} + Z_-e^{-k_zz} =: Z_{k_z}. \]
Persamaan yang hanya mengandung $t$ adalah
\[ \frac{1}{c^2}\frac{d^2T}{dt^2} + \frac{2i}{\hbar}\left(\frac{V}{c^2} - m\right)\frac{dT}{dt} + \left(\frac{2m}{\hbar^2}V\left(1 - \frac{V}{2mc^2}\right) - k^2\right)T = 0 \]
yang penyelesaiannya adalah
\[ T = T_+e^{\alpha_+t} + T_-e^{\alpha_-t} =: T_{k_xk_yk_z} \]
di mana
\[ \alpha_\pm := ic^2\left[-\frac{1}{\hbar}\left(\frac{V}{c^2} - m\right) \pm \sqrt{\left(\frac{1}{\hbar}\left(\frac{V}{c^2} - m\right)\right)^2 + \frac{1}{c^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}V\left(1 - \frac{V}{2mc^2}\right) - k^2\right)}\right]. \]
Jadi, penyelesaian umum persamaan Schrodinger relativistik tersebut adalah
\[ \Psi = \sum_{k_x, k_y, k_z \in \mathbb{C}} \beta_{k_xk_yk_z}X_{k_x}Y_{k_y}Z_{k_z}T_{k_xk_yk_z} \]
di mana $\beta_{k_xk_yk_z} \in \mathbb{C}$ adalah koefisien kombinasi linier.
Halaman: 1 ... 7 8 [9] 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 01:42:30 PM
Tulisan Terbaru