Gerhana Bulan dan Gerhana Matahari

[cotrans]

Hosana in excelcis.

\section{Gerhana Bulan dan Gerhana Matahari}

Misalkan di ruang hampa $\mathbb{R}^2$, posisi matahari ada di titik $(0, 0)$, posisi bumi relatif terhadap matahari ada di titik
\[ \vec{R} := R(\hat{x}\cos\Omega t + \hat{y}\sin\Omega t), \]
dan posisi bulan relatif terhadap bumi ada di titik
\[ \vec{r}' := r'(\hat{x}\cos\omega t + \hat{y}\sin\omega t), \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jarak rata-rata bumi-matahari, $r' \in \mathbb{R}^+$ adalah jarak rata-rata bulan-bumi, $\hat{x} := (1, 0)$, $\hat{y} := (0, 1)$, $\Omega := 2\pi/T$, $\omega := 2\pi/\tau$, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, $T \in \mathbb{R}^+$ adalah periode revolusi bumi terhadap matahari, dan $\tau \in \mathbb{R}^+$ adalah periode revolusi bulan terhadap bumi.  Oleh karena itu, posisi bulan relatif terhadap matahari adalah
\[ \vec{r} := \vec{R} + \vec{r}' = \hat{x}(R\cos\Omega t + r'\cos\omega t) + \hat{y}(R\sin\Omega t + r'\sin\omega t). \]
Gerhana bulan akan terjadi ketika $|\vec{r}|$ bernilai maksimum, sedangkan gerhana matahari akan terjadi ketika $|\vec{r}|$ bernilai minimum.  Kemudian,
\[ |\vec{r}|^2 = R^2 + r'^2 + 2Rr'\cos(\Omega - \omega)t. \]
Selanjutnya untuk terjadi gerhana, berlaku
\[ (d/dt)(|\vec{r}|^2) = 0 \]
sehingga
\[ \sin(\Omega - \omega)t = 0 \]
alias
\[ (\Omega - \omega)t = n\pi \]
di mana $n \in \mathbb{Z}$, sehingga
\[ t = t_n := n\pi/(\Omega - \omega) = n\pi/(2\pi(1/T - 1/\tau)). \]
Gerhana bulan terjadi ketika $n$ merupakan bilangan genap, sedangkan gerhana matahari terjadi ketika $n$ merupakan bilangan ganjil.

Wal bi Taufiq wal Hidayah.