Rotasi Pasif di Ruang $\mathbb{R}^3$

[cotrans]

Om santi santi om.

\section{Rotasi Pasif di Ruang $\mathbb{R}^3$}

Di ruang $\mathbb{R}^3$, ada sebuah vektor $\vec{A} := A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z}$ yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$ yang mengalami rotasi pasif menjadi vektor $\vec{A}' := A'_x\hat{x}' + A'_y\hat{y}' + A'_z\hat{z}'$ akibat vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n} \in \mathbb{R}^3$ yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$, di mana $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut rotasi, dan $\hat{n} \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor satuan arah sumbu rotasi.  Di sini, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$ adalah anggota-anggota basis alamiah ortonormal, serta
\[ \hat{x}' := \hat{x}\cdot\hat{n}\hat{n} + (\hat{n}\times\hat{x})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\hat{x}\sin\theta, \]
\[ \hat{y}' := \hat{y}\cdot\hat{n}\hat{n} + (\hat{n}\times\hat{y})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\hat{y}\sin\theta, \]
\[ \hat{z}' := \hat{z}\cdot\hat{n}\hat{n} + (\hat{n}\times\hat{z})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\hat{z}\sin\theta \]
adalah vektor-vektor satuan akibat rotasi dari $\hat{x}$, $\hat{y}$, dan $\hat{z}$ oleh $\vec{\theta}$.  Tentu saja, $\vec{A}' = \vec{A}$ alias
\[ A'_x\hat{x}' + A'_y\hat{y}' + A'_z\hat{z}' = A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z} \]
sehingga
\[ A'_x = \hat{x}'\cdot\hat{x}A_x + \hat{x}'\cdot\hat{y}A_y + \hat{x}'\cdot\hat{z}A_z, \]
\[ A'_y = \hat{y}'\cdot\hat{x}A_x + \hat{y}'\cdot\hat{y}A_y + \hat{y}'\cdot\hat{z}A_z, \]
\[ A'_z = \hat{z}'\cdot\hat{x}A_x + \hat{z}'\cdot\hat{y}A_y + \hat{z}'\cdot\hat{z}A_z. \]
Dalam bentuk matriks, ketiga persamaan terakhir menjadi
\[ \begin{pmatrix} A'_x \\ A'_y \\ A'_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{x}'\cdot\hat{x} & \hat{x}'\cdot\hat{y} & \hat{x}'\cdot\hat{z} \\ \hat{y}'\cdot\hat{x} & \hat{y}'\cdot\hat{y} & \hat{y}'\cdot\hat{z} \\ \hat{z}'\cdot\hat{x} & \hat{z}'\cdot\hat{y} & \hat{z}'\cdot\hat{z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}. \]
Dengan demikian, diperoleh ketiga komponen vektor $\vec{A}$ dalam basis ortonormal yang baru akibat rotasi oleh $\vec{\theta}$.

Om Swastyastu.