Garis-Garis Medan Magnet akibat Muatan yang Bergerak

[cotrans]

Salam sejahtera.

\section{Garis-Garis Medan Magnet akibat Muatan yang Bergerak}

Misalkan ada sebuah muatan listrik $q \in \mathbb{R}$ yang pada suatu saat tertentu terletak di posisi $\vec{r}' := (0, 0, 0)$ dan berkecepatan $\vec{v} := v\hat{z}$ di mana $v \in \mathbb{R}$ dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.  Posisi sebarang titik di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ adalah $\vec{r} := x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}$ di mana $x, y, z \in \mathbb{R}$, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.  Tentu saja, $|\vec{r} - \vec{r}'|^2 = x^2 + y^2 + z^2$.  Menurut hukum Biot-Savart, medan magnet di titik $\vec{r}$ tersebut adalah
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}. \]
Tentu saja,
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}qv\frac{x\hat{y} - y\hat{x}}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = B_x\hat{x} + B_y\hat{y} + B_z\hat{z} \]
sehingga otomatis $B_z = 0$, serta
\[ B_x = \frac{\mu_0}{4\pi}qv\frac{-y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \]
\[ B_y = \frac{\mu_0}{4\pi}qv\frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Tentu saja, medan $\vec{B}$ tadi memenuhi persamaan $dx/B_x = dy/B_y = dz/B_z$.  Apabila $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$, maka diperoleh $-dx/y = dy/x$ alias $-x\,dx = y\,dy$ yang diintegralkan menghasilkan $x^2 + y^2 = R^2$.  Oleh karena itu, lokus dari salah satu medan $\vec{B}$ tersebut adalah
\[ S^1(R, z_0) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 + z^2; z = z_0 \}. \]

Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.