Persamaan Geodesik (2)

[cotrans]

Om santi santi om.

\section{Persamaan Geodesik (2)}

Persamaan geodesik dapat dicari dengan cara yang berbeda, selain dengan metode kalkulus variasi, yaitu setara dengan percepatan yang sama dengan nol di suatu manifold $M$ yang berdimensi-$m$.  Andaikan $\vec{r} \in M$ adalah vektor posisi yang bergantung pada $m$ buah koordinat umum $q^1, \cdots, q^m \in \mathbb{R}$ dari sebuah manifold $M$ yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^n$ di mana $n \geq m$.  Koordinat $q^i$ bergantung pada parameter seperti-waktu $\tau \in \mathbb{R}$ untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, m \}$.  Persamaan yang menyatakan nolnya percepatan tentu saja adalah
\[ d^2\vec{r}/d\tau^2 = 0. \]
Dengan menerapkan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, maka diperoleh
\[ (d/d\tau)(d\vec{r}/d\tau) = 0 \]
alias
\[ \dot{q}^i(\partial/\partial q^i)(\dot{q}^j\vec{e}_j) = 0 \]
di mana $\dot{q}^j := dq^i/d\tau$ dan $\vec{e}_j := \partial\vec{r}/\partial q^j$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, m \}$.  Selanjutnya,
\[ \dot{q}^i(\vec{e}_j\partial\dot{q}^j/\partial q^i + \dot{q}^j\partial\vec{e}_j/\partial q^i) = 0. \]
Karena $\partial\vec{e}_j/\partial q^i = {\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k$ (di mana $\Gamma$ adalah lambang Christoffel) dan $\dot{q}^i\partial\dot{q}^j/\partial q^i = \ddot{q}^i := d\dot{q}^i/d\tau$, maka
\[ \ddot{q}^j\vec{e}_j + \dot{q}^i\dot{q}^j{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k = 0. \]
Dengan melakukan penukaran indeks boneka, maka diperoleh
\[ \ddot{q}^k\vec{e}_k + \dot{q}^i\dot{q}^j{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k = 0. \]
Karena himpunan $\{ \vec{e}_k ~|~ k \in \{ 1, \cdots, m \} \}$ itu bebas linier, maka tentu saja
\[ \ddot{q}^k + {\Gamma^k}_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j = 0. \]
Inilah persamaan geodesik yang dimaksud tersebut di atas.

Benedictus qui venit in nomine Domini.