Segitiga Geodesik yang Panjang Ketiga Sisinya Nol di Ruang Minkowski

[cotrans]

Om santi santi om.

\section{Segitiga Geodesik yang Panjang Ketiga Sisinya Nol di Ruang Minkowski}

Persamaan Geodesik pada sebuah manifold licin $M \subseteq \mathbb{R}^m$ berdimensi $n$ yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^m$, yang dilengkapi dengan tensor metrik $g := g_{ij}\vec{e}^i\otimes\vec{e}^j$, di mana $g_{ij} \in \mathbb{R}$ adalah komponen kovarian dari $g$, $\vec{e}^i := \nabla q^i$, dengan $\vec{r} \in M$ adalah vektor posisi yang bergantung pada koordinat umum $q^i \in \mathbb{R}$, adalah
\[ \ddot{q}^i + {\Gamma^i}_{jk}\dot{q}^j\dot{q}^k = 0. \]
Di sini, $\dot{q}^i := dq^i/d\lambda$ dan $\ddot{q}^i := d\dot{q}^i/d\lambda$ dengan $\lambda \in \mathbb{R}$ adalah parameter dari $q^i$, serta
\[ {\Gamma^i}_{jk} := \frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial q^k} + \frac{\partial g_{kl}}{\partial q^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial q^l}\right) \]
adalah lambang Christoffel.  Untuk metrik Minkowski, $n = 4$, serta $g = \eta$, di mana $\eta_{00} = c^2$, $\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = -1$, dan $(\eta_{ij})_{j \neq i} = 0$, dan $q^0 := t$, $q^1 := x$, $q^2 := y$, $q^3 := z$, di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Di sini, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah ruang fisis.  Oleh karena itu, di ruang Minkowski, berlaku ${\Gamma^i}_{jk} = 0$ untuk setiap $i, j, k \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, sehingga persamaan geodesiknya menjadi $\ddot{q}^i = 0$ alias $q^i = \alpha^i\lambda + \beta^i$ di mana $\alpha^i, \beta^i \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak dicari kemudian.  Apabila $q^i = q^i_0$ ketika $\lambda = 0$, serta $q^i = q^i_1$ ketika $\lambda = 1$, maka diperoleh
\[ q^i = (q^i_1 - q^i_0)\lambda + q^i_0. \]
Tentu saja, $\dot{q}^i = q^i_1 - q^i_0$.  Jarak antara titik $(t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $(t_1, x_1, y_1, z_1)$ dalam ruang Minkowsi tentu saja adalah
\[ s_{01} := \int_0^1 \sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j}d\lambda. \]
Karena $g_{ij}$ konstan dan $\dot{q}^i$ juga konstan, maka diperoleh
\[ s_{01} = \sqrt{c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2}. \]
Agar $s_{01} = 0$, maka haruslah
\[ c(t_1 - t_0) = \pm\gamma_{01} \]
di mana $\gamma_{01}$ didefinisikan sedemikian rupa
\[ \gamma_{01} := \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2}. \]
Andaikan ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$, sehingga dalam hal ini terdapat $4 + 4 + 4 = 12$ peubah bebas.  Agar panjang ketiga sisi segitiga tersebut bernilai nol, maka haruslah dipenuhi
\[ c(t_2 - t_1) = \pm_{12}\gamma_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = \pm_{23}\gamma_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = \pm_{31}\gamma_{31}. \]
Karena dari ke-$12$ buah peubah bebas itu terdapat $3$ buah persamaan sebagai kendala, maka cacah peubah bebas sisanya menjadi $12 - 3 = 9$ buah peubah bebas, serta terdapat $3$ buah peubah tak bebas, yaitu $t_1, t_2, t_3$, yang akan dicari dengan metode matriks dan determinan.  Penyajian matriks dari ketiga persamaan terakhir adalah
\[ \begin{pmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm_{12}\gamma_{12} \\ \pm_{23}\gamma_{23} \\ \pm_{31}\gamma_{31} \end{pmatrix}. \]
Karena
\[ \Delta := \begin{vmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{vmatrix} = 0, \]
serta $\Delta_1$, $\Delta_2$, dan $\Delta_3$ semuanya tidak nol, sedemikian rupa $t_1 = \Delta_1/\Delta$, $t_2 = \Delta_2/\Delta$, dan $t_3 = \Delta_3/\Delta$, maka diperoleh kesimpulan bahwa tidak mungkin ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang panjang ketiga sisinya semuanya nol.

Hosana in excelcis.