Teorema Sumbu Sejajar

[cotrans]

Shalom aleichem.

\section{Teorema Sumbu Sejajar}

Misalkan ada sebuah benda tegar $M \subseteq \mathbb{R}^3$ yang berpusat massa di titik $(0, 0, 0)$.  Misalkan pula ada dua buah sumbu sejajar $a_0$ yang melalui titik $(0, 0, 0)$ dan $a$ yang melalui titik $\vec{l} := l(\cos\phi, \sin\phi, 0)$ yang keduanya memiliki arah yang diwakili oleh vektor satuan $\hat{z} := (0, 0, 1)$, di mana $\phi \in \{ 0 \}\cup(0, 2\pi)$ dan $l \in \mathbb{R}^+$.  Tentu saja, momen inersia dari $M$ terhadap sumbu $a_0$ adalah
\[ I_0 := \int_M |\vec{r}\times\hat{z}|^2dm = \int_M (x^2 + y^2)dm \]
di mana $dm$ adalah elemen massa dari $M$ yang bergantung pada vektor posisi $\vec{r} := (x, y, z) \in M$ sedemikian $\int_M dm =: m$ adalah massa dari $M$.  Tentu pula, momen inersia dari $M$ terhadap sumbu $a$ adalah
\[ I = \int_M |(\vec{r} - \vec{l})\times\hat{z}|^2dm. \]
\[ I = \int_M |\vec{r}\times\hat{z} - \vec{l}\times\hat{z}|^2dm. \]
\[ I = \int_M [|\vec{r}\times\hat{z}|^2 + |\vec{l}\times\hat{z}|^2 - 2\vec{r}\cdot\vec{l}]dm. \]
\[ I = I_0 + l^2\int_M dm - 2l\int_M (x\cos\phi + y\sin\phi)dm. \]
\[ I = I_0 + ml^2 \]
sebab $\int_M x\,dm = \int_M y\,dm = 0$ oleh karena pusat massa dari $M$ ada di titik $(0, 0, 0)$ seperti telah disebutkan sebelumnya.

Haleluya.