Syarat Benda Tegar

[cotrans]

Bismillahirrahmanirrahim.

\section{Syarat Benda Tegar}

Syarat suatu benda $M \subseteq \mathbb{R}^3$ disebut benda tegar adalah bahwa posisi titik $\vec{r}_i \in M$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$ dapat dinyatakan sebagai rotasi dan translasi setiap titik $\vec{r}_{0i} \in M_0 \subseteq \mathbb{R}^3$ di mana $M$ dan $M_0$ kongkruen sedemikian
\[ \vec{r}_i = \hat{n}(\vec{r}_{0i}\cdot\hat{n}) + (\hat{n}\times\vec{r}_{0i})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_{0i}\sin\theta + \vec{R} \]
di mana $\hat{n} \in \mathbb{R}^3$ adalah arah vektor satuan sudut rotasi yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$, $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut rotasi, dan $\vec{R} \in \mathbb{R}^3$ adalah parameter translasi.

Ternyata, dari perhitungan yang teliti, diperoleh
\[ |\vec{r}_i - \vec{r}_j|^2 = |\vec{r}_{0i} - \vec{r}_{0j}|^2 \]
untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$, yang berarti bahwa jarak sebarang dua titik pada $M$ selalu tetap.

Contoh soalnya adalah sebagai berikut.

Andaikan diketahui bahwa posisi $n$ buah titik $\vec{r}_i$ yang bergantung pada waktu $t \in \mathbb{R}$ secara kontinyu untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.  Apakah sistem $n$ buah titik tersebut merupakan benda tegar?

Jawabannya adalah sebagai berikut.

Kita harus menguji apakah setiap dua buah titik $\vec{r}_i$ dan $\vec{r}_j$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$ berlaku kaitan
\[ \frac{d}{dt}|\vec{r}_i - \vec{r}_j| = 0. \]
Jika persamaan terakhir dipenuhi, maka sistem $n$ buah titik tersebut merupakan benda tegar.  Jika persamaan terakhir tidak dipenuhi, maka sistem $n$ buah titik tersebut bukanlah benda tegar.

Benedictus qui venit in nomine Domini.