Kebebasan Linier

[cotrans]

Salam sejahtera.

\section{Kebebasan Linier}

Seperangkat $m$ buah vektor $\vec{a}_j := \sum_{k = 1}^n a_{jk}\hat{x}_k \in \mathbb{R}^n$ untuk setiap $j \in \{1, \cdots, m\}$, di mana $a_{jk} \in \mathbb{R}$, serta
\[ \hat{x}_k := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{k}{1}, 0, \cdots, 0}}), \]
dikatakan bebas linier apabila persamaan
\[ \sum_{j = 1}^m k_j\vec{a}_j = \vec{0}, \]
di mana $k_j \in \mathbb{R}$ untuk setiap $j \in \{1, \cdots, m\}$, memiliki penyelesaian sepele, yaitu $k_j = 0$ untuk setiap $j \in \{1, \cdots, m\}$.

Selanjutnya,
\[ \sum_{j = 1}^m k_j\sum_{k = 1}^n a_{jk}\hat{x}_k = \vec{0}. \]
Karena $\{\hat{x}_1, \cdots, \hat{x}_n\}$ pasti bebas linier, maka
\[ \sum_{j = 1}^m k_ja_{jk} = 0 \]
untuk setiap $k \in \{1, \cdots, n\}$, yang disajikan dalam bentuk matriks menjadi
\[ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix} = \left.\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\right\}n. \]
Apabila didefinisikan matriks
\[ A := \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \]
\[ K := \begin{pmatrix} k_1 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix}, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ O_n := \left.\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\right\}n, \]
maka
\[ AK = O_n ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ A^{\text{T}}AK = O_m. \]
Karena harus dikehendaki $K = O_m$ agar seperangkat $m$ buah vektor tersebut bebas linier, maka haruslah
\[ \det(A^{\text{T}}A) \neq 0. \]
Inilah syarat agar seperangkat $m$ buah vektor tersebut bebas linier.

Apabila $m > n$, maka pastilah selalu $\det(A^{\text{T}}A) = 0$ sehingga seperangkat $m$ buah vektor tersebut pasti gayut linier.

Apabila $m = n$, maka agar seperangkat $m$ buah vektor tersebut bebas linier, syaratnya adalah $\det(A^{\text{T}})\det A \neq 0$ alias $(\det A)^2 \neq 0$ alias $\det A \neq 0$.

Hosana in excelcis.