Momen Inersia Sebuah Kubus Pejal terhadap Diagonal Ruangnya

[cotrans]

Bismillahirrahmanirrahim.

\section{Momen Inersia Sebuah Kubus Pejal terhadap Diagonal Ruangnya}

Andaikan ada sebuah kubus pejal bermassa $m \in \mathbb{R}^+$ dengan panjang rusuk $s \in \mathbb{R}^+$.  Kubus tersebut memiliki lokus (tempat kedudukan)
\[ C(s) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ -s/2 < x < s/2, -s/2 < y < s/2, -s/2 < z < s/2 \}. \]
Vektor satuan yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$ dan sejajar dengan diagonal utama dari $C(s)$ adalah
\[ \hat{n} := (n_x, n_y, n_z) = (1, 1, 1)/\sqrt{3} \]
sehingga $n_x = n_y = n_z = n_p := 1/\sqrt{3}$.

Kita akan mencari momen inersia $I$ dari $C(s)$ terhadap $\hat{n}$.  Mula-mula, kita mencari kesembilan komponen tensor momen inersia, yaitu $I_{xx}$, $I_{yy}$, $I_{zz}$, $I_{xy} = I_{yx}$, $I_{yz} = I_{zy}$, dan $I_{zx} = I_{xz}$.  Karena sumbu-$x$, sumbu-$y$, dan sumbu-$z$ adalah sumbu-sumbu utama, serta karena $C(s)$ bersifat simetris terhadap sistem koordinat Cartesian $(x, y, z)$, maka $I_{xy} = I_{yx} = I_{yz} = I_{zy} = I_{zx} = I_{xz} = I_0 = 0$, serta $I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = I_p$, sehingga
\[ I_p := \rho\int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} (x^2 + y^2)dz\,dy\,dx \]
di mana $\rho := m/s^3$ adalah rapat massa homogen dari $C(s)$.  Selanjutnya,
\[ I_p = \rho s\int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} (x^2 + y^2)dy\,dx. \]
\[ I_p = \rho s\int_{-s/2}^{s/2} (x^2s + (2/3)((s/2)^3))dx. \]
\[ I_p = \rho s^2\int_{-s/2}^{s/2} (x^2 + (1/12)s^2)dx. \]
\[ I_p = \rho s^2((2/3)(s/2)^3 + (1/12)s^3). \]
\[ I_p = \rho s^2((1/12)s^3 + (1/12)s^3) = (1/6)\rho s^5. \]
\[ I_p = (1/6)(m/s^3)s^5 = (1/6)ms^2. \]
Kemudian,
\[ I_0 := -\rho\int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} xy\,dz\,dy\,dx = 0. \]
Rumus momen inersia $I$ dari $C(s)$ adalah
\[ I = I_{xx}n_x^2 + I_{yy}n_y^2 + I_{zz}n_z^2 + 2I_{xy}n_xn_y + 2I_{yz}n_yn_z + 2I_{zx}n_zn_x = 3I_pn_p^2 \]
sehingga $I = 3((1/6)ms^2)(1/3) = (1/6)ms^2$.  Inilah momen inersia $C(s)$ terhadap $\hat{n}$.

Sampai jumpa lagi.