Pembuktian Teorema Pappus-Guldin

[Roni]

Shalom aleichem.

\section{Pembuktian Teorema Pappus-Guldin}

Kita akan membuktikan teorema Pappus-Guldin.

Misalkan di bidang $\mathbb{R}^2$ ada sebuah daerah $A \subset \mathbb{R}^2$ dan sebuah garis lurus $L := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ ax + by + c = 0 \}$ di mana $a, b, c \in \mathbb{R}$ sedemikian $A\cap L = \emptyset$.

Volume benda putar yang terjadi apabila daerah $A$ diputar satu putaran penuh dengan sumbu putar garis $L$ adalah
\[ V = 2\pi\int_A \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}|dx\wedge dy|. \]
\[ V = 2\pi\frac{\displaystyle \int_A \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|}\int_A |dx\wedge dy|. \]
Karena $A\cap L = \emptyset$, maka nilai $|ax + by + c|$ selalu $\pm(ax + by + c)$ untuk setiap $(x, y) \in A$, sehingga tanda integral dapat masuk ke dalam tanda nilai mutlak.  Oleh karena itu,
\[ V = 2\pi\frac{\displaystyle \left|a\frac{\displaystyle \int_A x|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} + b\frac{\displaystyle \int_A y|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} + c\frac{\displaystyle \int_A|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|}\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\int_A |dx\wedge dy|. \]
Oleh karena itu,
\[ V = 2\pi\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\int_A |dx\wedge dy| \]
di mana
\[ x_0 := \frac{\displaystyle \int_A x|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ y_0 := \frac{\displaystyle \int_A y|dx\wedge dy|}{\displaystyle \int_A |dx\wedge dy|} \]
sedemikian $(x_0, y_0)$ adalah pusat massa dari daerah $A$.

Jadi, teorema Pappus-Guldin menyatakan bahwa volume benda putar yang diperoleh dengan cara memutar daerah $A$ satu putaran penuh terhadap sumbu putar $L$ adalah hasil kali panjang lintasan putar dari pusat massa daerah $A$ dengan luas daerah $A$.

Terpujilah Kristus.