Limit Vektor

[cotrans]

Om santi santi om.

\section{Limit Vektor}

Seandainya, $\vec{f} \,:\, \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ adalah sebuah pemetaan, $\vec{c} \in \mathbb{R}^m$ adalah sebuah vektor yang konstan, serta $\delta, \epsilon \in \mathbb{R}$.  Di sini, $m, n \in \mathbb{N}$.  Definisi limit vektor adalah
\[ \lim_{\vec{r} \to \vec{c}} f(\vec{x}) = \vec{L} \]
sedemikian untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian
\[ 0 < |\vec{x} - \vec{c}| < \delta \]
mengakibatkan
\[ |\vec{f}(\vec{x}) - \vec{L}| < \epsilon. \]
Dari definisi ini, kita hendak mencari bentuk ekspisit dari $\vec{L}$.

Kita dapat menuliskan
\[ |\vec{x} - \vec{c}| = |\vec{r}| \]
di mana $0 < |\vec{r}| < \delta$ alias $\vec{r}$ adalah sebarang posisi pada cakram terbuka yang berpusat di titik $\vec{0} \in \mathbb{R}^m$ dan berjari-jari $\delta$, di mana titik $\vec{0}$ dihilangkan, sehingga
\[ \vec{x} = \vec{c} + \vec{r}. \]
Kita dapat juga menuliskan
\[ |\vec{f}(\vec{x}) - \vec{L}| = |\vec{R}| \]
di mana $0 \leq |\vec{R}| < \epsilon$ alias $\vec{R}$ adalah sebarang posisi pada cakram terbuka yang berpusat di titik $\vec{0} \in \mathbb{R}^n$ dan berjari-jari $\epsilon$, sehingga
\[ \vec{L} = \vec{f}(\vec{x}) + \vec{R} \]
alias
\[ \lim_{\vec{r} \to \vec{c}} \vec{f}(\vec{x}) = \vec{f}(\vec{c} + \vec{r}) + \vec{R}. \]
Inilah definisi dari limit vektor tersebut.

Om Swastyastu.