Tegangan pada Induktor Berbentuk Solenoida

[cotrans]

Terpujilah Kristus.

\section{Tegangan pada Induktor Berbentuk Solenoida}

Andaikan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$, ada sebuah solenoida
\[ S(r, l) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 = r^2, z \in [-l/2, l/2] \} \]
di mana $r \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari $S(r, l)$ yang sangat kecil, dan $l \in \mathbb{R}^+$ adalah panjang $S(r, l)$.  Medan magnet di pusat solenoida tersebut, yaitu di titik $(0, 0, 0)$, adalah
\[ \vec{B} = (\mu_0IN/l)\hat{z} \in \mathbb{R}^3 \]
yang dianggap bergantung pada posisi $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ dan waktu $t \in \mathbb{R}$, di mana $\mu_0 \in \mathbb{R}^+$ adalah permeabilitas magnet di ruang hampa, $I \in \mathbb{R}$ adalah arus listrik yang hanya bergantung $t$, $N$ adalah jumlah lilitan dari $S(r, l)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.  Lantas,
\[ \partial\vec{B}/\partial t = (\mu_0N/l)\hat{z}dI/dt. \]
Dari hukum Faraday, yaitu
\[ \nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t, \]
di mana $\vec{E} \in \mathbb{R}^3$ adalah medan listrik yang bergantung pada $\vec{r}$ dan $t$, diperoleh
\[ \nabla\times\vec{E} = -(\mu_0N/l)\hat{z}dI/dt. \]
Andaikan ada sebuah cakram
\[ D^2(r) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 \leq r^2, z = 0 \}. \]
Andaikan orientasi arah dari $D^2(r)$ adalah searah dengan $\hat{z}$.  Andaikan pula, tegangan listrik sepanjang $\partial D^2(r)$ adalah $\Delta\varphi$.

Dari teorema Stokes, yaitu
\[ \oint_{\partial D^2(r)} \vec{E}\cdot d\vec{r} = \int_{D^2(r)} (\nabla\times\vec{E})\cdot d^2\vec{r}, \]
diperoleh
\[ \oint_{\partial D^2(r)} \vec{E}\cdot d\vec{r} = -(\pi r^2\mu_0N/l)dI/dt \]
sebab
\[ \int_{D^2(r)} \hat{z}\cdot d^2\vec{r} = \pi r^2. \]
Karena tegangan listrik sepanjang $\partial D^2(r)$ adalah
\[ \Delta\varphi := \oint_{\partial D^2(r)} \vec{E}\cdot d\vec{r}, \]
maka diperoleh
\[ \Delta\varphi = -(\pi r^2\mu_0N/l)dI/dt. \]
Besaran $L := -\pi r^2\mu_0N/l$ merupakan induktansi diri pada solenoida $S(r, l)$ sehingga
\[ \Delta\varphi = -LdI/dt. \]

Arigatou ikimono gakari.