Persamaan Schr\"odinger Relativistik pada Potensial Sumur Tak Hingga

[cotrans]

Shalom aleichem.

\section{Persamaan Schr\"odinger Relativistik pada Potensial Sumur Tak Hingga}

Andaikan ada tenaga potensial sumur tak hingga satu-dimensi, yaitu $V \in \mathbb{R}$ sedemikian $V = 0$ untuk $|x| < a$, dan $V = +\infty$ untuk $|x| > a$ di mana $V$ bergantung pada posisi $x \in \mathbb{R}$, serta $a \in \mathbb{R}^+$ merupakan setengah dari lebar sumur potensial.

Persamaan Schr\"odinger relativistik satu-dimensi tak gayut waktu di wilayah $|x| < a$ tentu saja adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} - \frac{E^2}{2mc^2}\psi = E\psi \]
alias
\[ \frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\left(1 + \frac{E}{2mc^2}\right)\psi = -k^2\psi \]
di mana $\psi \in \mathbb{R}$ adalah gelombang kebolehjadian, $E \in \mathbb{R}$ adalah tenaga mekanik partikel kuantum, $m \in \mathbb{R}^+$ adalah massa rehat partikel kuantum, $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, dan $k := (\sqrt{2mE}/\hbar)\sqrt{1 + E/(2mc^2)}$ adalah sebuah tetapan.

Penyelesaian persamaan diferensial terakhir adalah
\[ \psi = A\cos kx + B\sin kx \]
di mana $A, B \in \mathbb{C}$ adalah sebarang tetapan.

Nilai $\psi$ di titik $|x| = a$ haruslah nol, sehingga
\[ \psi_x(a) = A\cos ka + B\sin ka = 0 \]
dan
\[ \psi_x(-a) = A\cos ka - B\sin ka = 0. \]
Agar $\psi$ tidak trivial, maka $A$ dan $B$ tidak boleh sama dengan nol, sehingga haruslah
\[ \begin{vmatrix} \cos ka & \sin ka \\ \cos ka & -\sin ka \end{vmatrix} = 0 \]
alias $\sin 2ka = 0$ alias $2ka = n\pi$ di mana $n \in \mathbb{Z}$, sehingga $k = n\pi/(2a)$ alias
\[ \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\sqrt{1 + \frac{E}{2mc^2}} = \frac{n\pi}{2a} \]
alias
\[ E^2 + 2mc^2E - \left(\frac{n\pi\hbar c}{2a}\right)^2 = 0 \]
alias (dengan bantuan rumus abc)
\[ E = c\left(-mc \pm \sqrt{(mc)^2 + \left(\frac{n\pi\hbar}{2a}\right)^2}\right) \]
alias (dengan sedikit manipulasi)
\[ E = E_n = \frac{(n\pi\hbar/2a)^2}{m \pm \sqrt{m^2 + (n\pi\hbar/2ac)^2}} \]
yang merupakan aras-aras tenaga partikel kuantum-relativistik dalam potensial sumur $V$ tersebut.

Limit non-relativistik, yaitu $c \to \infty$, untuk $E_n$ adalah
\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}. \]

Untuk partikel tak bermassa rehat, yaitu untuk $m = 0$, maka diperoleh
\[ E_n = \frac{n\pi\hbar c}{2a} \]
dengan $n$ adalah sebarang bilangan bulat.  Besaran $E_n$ pada persamaan terakhir merupakan aras-aras tenaga yang diskrit untuk partikel kuantum-relativistik yang tak bermassa rehat yang berada di dalam sumur potensial tak hingga $V$ tersebut.

Syukur kepada Allah.