Menentukan Lagrangian Sistem jika Diketahui Persamaan Geraknya

[cotrans]

Bismillahirrahmanirrahim.

\section{Menentukan Lagrangian Sistem jika Diketahui Persamaan Geraknya}

Persamaan gerak Euler-Lagrange tanpa kendala untuk gerak satu-dimensi pada garis riil $\mathbb{R}$ adalah
\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{z}} = \frac{\partial L}{\partial z} \]
di mana $L \in \mathbb{R}$ adalah Lagrangian (yang berdimensi tenaga) yang bergantung pada posisi $z \in \mathbb{R}$, kecepatan $\dot{z} := dz/dt$, dan waktu $t \in \mathbb{R}$.

Secara umum, $L$ dapat ditulis sebagai sebuah deret pangkat, yaitu
\[ L = \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}z^i\dot{z}^jt^k \]
di mana $\alpha_{ijk} \in \mathbb{R}$ adalah sebuah tetapan untuk setiap $i, j, k \in \mathbb{N}_0$.

Oleh karena itu,
\[ \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}\frac{d}{dt}(jz^i\dot{z}^{j - 1}t^k) = \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}iz^{i - 1}\dot{z}^jt^k \]
alias
\[ \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}(jiz^{i - 1}\dot{z}^jt^k + j(j - 1)z^i\dot{z}^{j - 2}\ddot{z}t^k + jkz^i\dot{z}^{j - 1}t^{k - 1}) = \sum_{i, j, k = 0}^\infty \alpha_{ijk}iz^{i - 1}\dot{z}^jt^k \]
di mana $\ddot{z} := d\dot{z}/dt$.  Inilah persamaan gerak sistem jika diketahui Lagrangian yang telan disebutkan sebelumnya.

Selanjutnya, akan dibicarakan contoh kongkretnya.

Persamaan gerak sebuah batu yang melambung vertikal ke atas dengan posisi $(0, 0, z)$ akibat pengaruh percepatan gravitasi $\vec{g} := (0, 0, -g)$, di mana $g \in \mathbb{R}^+$ adalah sebuah tetapan, adalah
\[ \ddot{z} = -g ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ m\ddot{z} = -mg \]
di mana $m \in \mathbb{R}^+$ adalah massa batu tersebut.  Dengan membandingkan persamaan terakhir dengan persamaan gerak sistem secara umum, diperoleh
\[ 2\alpha_{020}\ddot{z} = \alpha_{100} - \alpha_{011} \]
sehingga otomatis
\[ 2\alpha_{020} = m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \alpha_{100} - \alpha_{011} = -mg \]
alias
\[ \alpha_{020} = (1/2)m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \alpha_{011} = mg + \alpha_{100} \]
sehingga
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 + \alpha_{100}z + (mg + \alpha_{100})\dot{z}t \]
yang lebih umum daripada Larangian yang biasa dipakai.  Apabila Lagrangian $L$ ini dimasukkan ke dalam persamaan Euler-Lagrange tadi, maka kita peroleh $\ddot{z} = -g$.  Secara khusus, substitusi $\alpha_{100} = -mg$ menghasilkan
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 - mgz \]
yang biasa dikenal.

Contoh selanjutnya adalah getaran selaras tak teredam, yaitu
\[ m\ddot{z} = -kz \]
di mana $k \in \mathbb{R}^+$ adalah tetapan pegas.  Dengan membandingkan persamaan terakhir dengan persamaan gerak sistem secara umum, diperoleh
\[ 2\alpha_{020}\ddot{z} = (2\alpha_{200} - \alpha_{111})z \]
sehingga otomatis
\[ 2\alpha_{020} = m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ 2\alpha_{200} - \alpha_{111} = -k \]
alias
\[ \alpha_{020} = (1/2)m ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \alpha_{111} = k + 2\alpha_{200} \]
sehingga
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 + \alpha_{200}z^2 + (k + 2\alpha_{200})z\dot{z}t \]
yang lebih umum daripada Lagrangian yang biasa dipakai.  Apabila Lagrangian $L$ ini dimasukkan ke dalam persamaan Euler-Lagrange tadi, maka kita peroleh $m\ddot{z} = -kz$.  Secara khusus, substitusi $\alpha_{200} = -(1/2)k$ menghasilkan
\[ L = (1/2)m\dot{z}^2 - (1/2)kz^2 \]
yang biasa dikenal.

Om santi santi om.