Bentuk Eksplisit dari Koefisien Struktur dari Sebuah Basis Ruang Vektor Singgung

[cotrans]

Benedictus qui venit in nomine Domini.

\section{Bentuk Eksplisit dari Koefisien Struktur dari Sebuah Basis Ruang Vektor Singgung pada Sebuah Manifold}

Misalkan ada sebuah basis di titik $p := \vec{r} \in M \subseteq \mathbb{R}^n$ yang bergantung pada koordinat $(q^1, \cdots, q^m) \in \mathbb{R}^m$ pada sebuah manifold $M$ berdimensi $m \leq n$ yang tidak harus merupakan basis koordinat, yaitu
\[ B := \{ \vec{c}_1, \cdots, \vec{c}_m \} \]
di mana $\vec{c}_i := {M^j}_i\vec{e}_j$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, dengan ${M^j}_i \in \mathbb{R}$ bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, m \}$, serta $\vec{e}_j := \partial\vec{r}/\partial q^j$ adalah sebuah anggota basis koordinat untuk setiap $j \in \{ 1, \cdots, m \}$.  Di sini, telah dipakai kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, yaitu bahwa $a_{ii} := \sum_{i = 1}^m a_{ii}$.  Di sini didefinisikan $\vec{e}_i(Q) := \partial Q/\partial q^i$ untuk sebarang kuantitas $Q$.

Lantas, perkalian Lie dari $\vec{X}, \vec{Y} \in T_pM$ anggota ruang vektor singgung di titik $p \in M$ didefinisikan sebagai
\[ [\vec{X}, \vec{Y}] := \vec{X}\vec{Y} - \vec{Y}\vec{X} \]
di mana $\vec{X} := X^i\vec{c}_i$ dan $\vec{Y} := Y^i\vec{c}_i$ dengan $X^i, Y^i \in \mathbb{R}$ bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, sehingga
\[ [\vec{X}, \vec{Y}] = X^i\vec{c}_i(Y^j\vec{c}_j) - Y^i\vec{c}_i(X^j\vec{c}_j) \]
\[ = [X^i\vec{c}_i(Y^j) - Y^i\vec{c}_i(X^j)]\vec{c}_j + X^iY^j[\vec{c}_i, \vec{c}_j] \]
sedemikian rupa sehingga
\[ [\vec{c}_i, \vec{c}_j] = {f^k}_{ij}\vec{c}_k \]
di mana ${f^k}_{ij} \in \mathbb{R}$ adalah koefisien struktur yang secara umum bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$ untuk setiap $i, j, k \in \{ 1, \cdots, m \}$.  Oleh karena itu,
\[ [{M^a}_i\vec{e}_a, {M^b}_j\vec{e}_b] = {f^k}_{ij}{M^c}_k\vec{e}_c \]
alias
\[ ({M^a}_i\partial{M^b}_j/\partial q^a - {M^a}_j\partial{M^b}_i/\partial q^a)\vec{e}_b = {f^k}_{ij}{M^c}_k\vec{e}_c \]
karena $[\vec{e}_a, \vec{e}_b] = \vec{0}$.

Apabila didefinisikan $\vec{e}^i := \nabla q^i$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, maka tentu saja $\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j = {\delta^i}_j$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, m \}$, sehingga
\[ {M^a}_i\partial{M^h}_j/\partial q^a - {M^a}_j\partial{M^h}_i/\partial q^a = {f^k}_{ij}{M^h}_k. \]
Apabila didefinisikan ${N^j}_i \in \mathbb{R}$ sedemikian rupa sehingga $\vec{e}_i = {N^j}_i\vec{c}_j$, maka tentu saja
\[ \vec{e}_i = {N^j}_i{M^k}_j\vec{e}_k \]
sehingga terpaksa ${N^j}_i{M^k}_j = {\delta^k}_i$.  Oleh karena itu,
\[ {N^k}_h({M^a}_i\partial{M^h}_j/\partial q^a - {M^a}_j\partial{M^h}_i/\partial q^a) = {f^k}_{ij}. \]
Inilah bentuk eksplisit dari koefisien struktur ${f^k}_{ij}$.

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.