Lagrangian, Hamiltonian, dan Mamiltonian

[cotrans]

Bismillahirrahmanirrahim.

\section{Lagrangian, Hamiltonian, dan Mamiltonian}

Misalkan ada $n$ buah koordinat umum $q^1, \cdots, q^n \in \mathbb{R}$, dan $n$ buah momentum umum $p_1, \cdots, p_n \in \mathbb{R}$.  Didefinisikan pula, $\dot{q}^i := dq^i/dt$ dan $\dot{p}_i := dp_i/dt$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Misalkan pula, ada sebuah Lagrangian $L \in \mathbb{R}$ yang bergantung secara eksplisit terhadap $(q^1, \cdots, q^n, \dot{q}^1, \cdots, \dot{q}^n, t)$ serta memenuhi persamaan
\[ \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} = p_i ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial L}{\partial q^i} = \dot{p}_i \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.

Transformasi Legendre $H := \dot{q}^ip_i - L$ menghasilkan
\[ dH = p_id\dot{q}^i + \dot{q}^idp_i - \dot{p}_idq^i - p_id\dot{q}^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
alias
\[ dH = \dot{q}^idp_i - \dot{p}_idq^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot{q}^i, ~~~~~ \frac{\partial H}{\partial q^i} = -\dot{p}_i, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.  Besaran $H$ yang bergantung secara eksplisit terhadap $(q^1, \cdots, q^n, p_1, \cdots, p_n, t)$ ini biasa dikenal sebagai \emph{Hamiltonian}.

Transformasi Legendre $M := q^i\dot{p}_i - L$ menghasilkan
\[ dM = \dot{p}_idq^i + q^id\dot{p}_i - \dot{p}_idq^i - p_id\dot{q}^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
alias
\[ dM = q^id\dot{p}_i - p_id\dot{q}^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{\partial M}{\partial\dot{p}_i} = q^i, ~~~~~ \frac{\partial M}{\partial\dot{q}^i} = -p_i, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial M}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}. \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.  Besaran $M$ yang bergantung secara eksplisit terhadap $(\dot{q}^i, \cdots, \dot{q}^n, \dot{p}_1, \cdots, \dot{p}_n, t)$ ini saya sebut sebagai \emph{Mamiltonian} yang merupakan istilah yang saya buat sendiri.

Terpujilah Kristus.