Potensial Listrik akibat Konduktor Berbentuk Bola Pejal

[cotrans]

Bismillahirrahmanirrahim.

\section{Potensial Listrik akibat Konduktor Berbentuk Bola Pejal}

Misalkan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ ada sebuah konduktor berbentuk sebuah bola pejal
\[ S^2(R) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| \leq R \} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ yang seluruh muatan $Q \in \mathbb{R}$ -nya terdistribusi merata pada $\partial S^2(R)$ tersebut.

Potensial listrik di titik $\vec{r} := (0, 0, r)$, di mana $r \in \mathbb{R}^+$, tentu saja adalah
\[ \varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{4\pi R^2}\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{R^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \]
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik dalam ruang hampa, dan
\[ \vec{r}' := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) \]
adalah posisi sebarang titik pada $\partial S^2(R)$ tersebut.

Karena
\[ |\vec{r} - \vec{r}'|^2 = R^2\sin^2\theta + (r - R\cos\theta)^2 = R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta, \]
maka
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0}\int_0^\pi \frac{\sin\theta\,d\theta}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}}. \]
Apabila didefinisikan $l^2 = R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta$, dengan $l \in \mathbb{R}^+$, maka $2l\,dl = 2Rr\sin\theta\,d\theta$ alias $\sin\theta\,d\theta = l\,dl/(Rr)$ sehingga
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}\int_{|r - R|}^{r + R} dl \]
alias
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}[(r + R) - |r - R|]. \]
Apabila $r > R$, maka
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}[(r + R) - (r - R)] = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}, \]
serta apabila $r < R$, maka
\[ \varphi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0Rr}[(r + R) - (R - r)] = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0R} \]
sesuai yang diharapkan.

Sayonara zetsubou sensei.