Transformasi Kosinus dalam Relativitas Khusus

[cotrans]

Moshi moshi.

\section{Transformasi Kosinus dalam Relativitas Khusus}

Secara relativistik, kecepatan titik $P$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah $\vec{v}' \in \mathbb{R}^3$ sedemikian
\[ \vec{v}' = \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $P$ menurut kerangka acuan $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$ adalah faktor Lorentz, $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$ adalah vektor satuan yang searah dengan $\vec{V}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Kuadrat magnitudo dari $\vec{v}'$ adalah $v'^2 = [v^2 + (\Gamma^2 - 2\Gamma + 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $+ \Gamma^2V^2 + 2(\Gamma - 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $- 2\Gamma V\vec{v}\cdot\hat{V}$ $- 2\Gamma(\Gamma - 1)V\vec{v}\cdot\hat{V}]/[\Gamma^2(1$ $- \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)^2]$ di mana $v' := |\vec{v}'|$, $v := |\vec{v}|$, dan $V := |\vec{V}|$.  Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2 + (\Gamma^2 - 1)v^2\chi^2 + \Gamma^2V^2 - 2\Gamma^2v\chi V}{\Gamma^2(1 - v\chi V/c^2)^2} \]
di mana $\chi := \cos\theta := \hat{v}\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v} := \vec{v}/v$.  Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(1 - v\chi V/c^2)^2}. \]
Arah $\vec{v}'$ yang searah dengan $\vec{V}$ adalah
\[ \vec{v}'\cdot\hat{V} = v'\chi' = \frac{v\chi - V}{1 - v\chi V/c^2} \]
di mana $\chi' := \cos\theta' := \hat{v}'\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v}' := \vec{v}'/v'$.  Selanjutnya,
\[ \frac{1}{\chi'} = v'\frac{1 - v\chi V/c^2}{v\chi - V} \]
yang dikuadratkan kedua ruasnya menjadi
\[ \frac{1}{\chi'^2} = v'^2\frac{(1 - v\chi V/c^2)^2}{(v\chi - V)^2} \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{1}{\chi'^2} = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 - v^2\chi^2}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - \chi^2)}{\Gamma^2(v\chi - V)^2}. \]
Kaitan terakhir merupakan transformasi kosinus sudut arah gerak objek $P$ menurut $K$ menjadi menurut $K'$ terhadap $\vec{V}$.  Tampak dalam kaitan terakhir, $\chi'$ dapat bernilai positif maupun negatif.  Lantas, mana yang dipakai?  Solusinya adalah sebagai berikut.  Mula-mula, kita masukkan $\theta' = 90^\circ$ sebagai batas ke-positif-an dan ke-negatif-an nilai $\chi'$, sehingga praktis $\chi' = 0$ yang mengharuskan $v\chi - V = 0$ yang mengakibatkan
\[ \chi' = \sqrt{\chi'^2}\operatorname{sgn}(v\chi - V). \]
Tentu saja, $\theta' = \arccos\chi'$.

Syukur kepada Allah.