Pembuktian Ketaksamaan Segitiga

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Salam sejahtera.

\section{Pembuktian Ketaksamaan Segitiga}

Andaikan ada sebuah ruang vektor $\mathcal{H}$ di atas lapangan kompleks $\mathbb{C}$.  Andaikan di ruang $\mathcal{H}$ tersebut didefinisikan sebuah produk skalar antara dua buah vektor $\Psi, \Psi' \in \mathcal{H}$, yaitu $\left<\Psi|\Psi'\right> \in \mathbb{C}$, serta sebuah norma $\|\Psi\| := \sqrt{\left<\Psi|\Psi\right>} \in \mathbb{R}^+\cup\{ 0 \}$ untuk setiap $\Psi \in \mathcal{H}$.  Tentu saja,
\[ \|\Psi\|^2 = \left\|\frac{\left<\Psi'|\Psi\right>}{\|\Psi'\|^2}\Psi' + \left(\Psi - \frac{\left<\Psi'|\Psi\right>}{\|\Psi'\|^2}\Psi'\right)\right\|^2 \]
\[ = \frac{|\left<\Psi'|\Psi\right>|^2}{\|\Psi'\|^2} + \left\|\Psi - \frac{\left<\Psi'|\Psi\right>}{\|\Psi'\|^2}\Psi'\right\|^2 + \frac{2}{\|\Psi\|^2}\operatorname{Re}\left(\left<\Psi|\Psi'\right>\left<\Psi'\left|\Psi - \frac{\left<\Psi'|\Psi\right>}{\|\Psi'\|^2}\Psi'\right.\right>\right) \]
\[ = \frac{|\left<\Psi'|\Psi\right>|^2}{\|\Psi'\|^2} + \left\|\Psi - \frac{\left<\Psi'|\Psi\right>}{\|\Psi'\|^2}\Psi'\right\|^2 \]
karena
\[ \left<\Psi'\left|\Psi - \frac{\left<\Psi'|\Psi\right>}{\|\Psi'\|^2}\Psi'\right.\right> = 0. \]
Ini berarti
\[ \|\Psi\|^2 \geq \frac{|\left<\Psi'|\Psi\right>|^2}{\|\Psi'\|^2} \]
alias
\[ \|\Psi\|^2\|\Psi'\|^2 \geq |\left<\Psi'|\Psi\right>|^2. \]
Karena
\[ |\left<\Psi'|\Psi\right>|^2 = (\operatorname{Re}\left<\Psi'|\Psi\right>)^2 + (\operatorname{Im}\left<\Psi'|\Psi\right>)^2, \]
maka
\[ \|\Psi\|^2\|\Psi'\|^2 \geq (\operatorname{Re}\left<\Psi'|\Psi\right>)^2 \]
alias
\[ -\|\Psi\|\|\Psi'\| \leq \operatorname{Re}\left<\Psi'|\Psi\right> \leq \|\Psi\|\|\Psi'\|. \]
Dari sini, kita anggap bahwa
\[ \operatorname{Re}\left<\Psi'|\Psi\right> = \|\Psi\|\|\Psi'\|\cos(\Psi, \Psi'). \]
Selanjutnya,
\[ \|\Psi + \Psi'\|^2 = \|\Psi\|^2 + \|\Psi'\|^2 + 2\operatorname{Re}\left<\Psi'|\Psi\right>, \]
sehingga
\[ (\|\Psi\| - \|\Psi'\|)^2 \leq \|\Psi + \Psi'\|^2 \leq (\|\Psi\| + \|\Psi'\|)^2 \]
alias
\[ |\|\Psi\| - \|\Psi'\|| \leq \|\Psi + \Psi'\| \leq \|\Psi\| + \|\Psi'\| \]
yang merupakan ketaksamaan segitiga.

Nderek langkung.