Transformasi Lorentz untuk Operator Turunan

[cotrans]

Terpujilah Kristus.

\section{Transformasi Lorentz untuk Operator Turunan}

Transformasi Lorentz untuk perangkat momentum-energi adalah
\[ \vec{p}' = \vec{p} + (\Gamma - 1)\vec{p}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}E/c^2 \]
dan
\[ E' = \Gamma(E - \vec{V}\cdot\vec{p}) \]
di mana $\vec{p} \in \mathbb{R}^3$ adalah momentum partikel menurut kerangka acuan $O$, $\vec{p}' \in \mathbb{R}^3$ adalah momentum partikel menurut kerangka acuan $O'$, $E \in \mathbb{R}$ adalah energi relativistik partikel menurut $O$, $E' \in \mathbb{R}$ adalah energi relativistik partikel menurut $O'$, $\Gamma := [1 - (V/c)^2]^{-1/2}$ adalah faktor Lorentz, $V := |\vec{V}|$ adalah kelajuan $O'$ menurut $O$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $O'$ menurut $O$, $\hat{V} := \vec{V}/V$ adalah arah dari $\vec{V}$, dan $c$ adalah tetapan kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Penggantian (pengkuantuman) $\vec{p} \mapsto -i\hbar\nabla$, $E \mapsto i\hbar\partial/\partial t$, $\vec{p}' \mapsto -i\hbar\nabla'$, dan $E' \mapsto i\hbar\partial/\partial t'$, di mana $\nabla := \partial/\partial\vec{r}$, $\nabla' := \partial/\partial\vec{r}'$, $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut $O$, $\vec{r}' \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut $O'$, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, serta $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan khayal satuan, dan $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, menghasilkan
\[ -i\hbar\nabla' = -i\hbar\nabla - i\hbar(\Gamma - 1)\hat{V}\hat{V}\cdot\nabla - i\hbar\Gamma c^{-2}\vec{V}\partial/\partial t \]
dan
\[ i\hbar\partial/\partial t' = \Gamma(i\hbar\partial/\partial t' + i\hbar\vec{V}\cdot\nabla). \]
Kedua persamaan terakhir dapat diubah menjadi
\[ \nabla' = \nabla + (\Gamma - 1)\hat{V}\hat{V}\cdot\nabla + \Gamma c^{-2}\vec{V}\partial/\partial t \]
dan
\[ \partial/\partial t' = \Gamma(\partial/\partial t + \vec{V}\cdot\nabla). \]
Kedua persamaan terakhir merupakan transformasi Lorentz untuk turunan terhadap variabel ruang dan waktu.

Sekian dan terima kasih.