Wakilan Vektor Singgung dan Vektor Normal dari Sebuah Permukaan

[Roni]

Salam damai Kristus.

\section{Wakilan Vektor Singgung dan Vektor Normal dari Sebuah Permukaan}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah permukaan
\[ S(\varphi) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ \varphi(\vec{r}) = 0 \} \]
di mana $\varphi \,:\, \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.  Tentu saja, posisi sebuah titik pada $S(\varphi)$ adalah $\vec{r} := (x, y, z) \in S(\varphi)$ yang bergantung pada dua buah koordinat umum sebagai parameter dari $S(\varphi)$, misalnya $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.  Kita akan membuktikan bahwa $\partial\vec{r}/\partial\alpha$ adalah sebuah vektor singgung di titik $\vec{r}$, sedangkan $\nabla\varphi(\vec{r})$ adalah sebuah vektor normal di titik $\vec{r}$.  Karena $\varphi(\vec{r}) = 0$, maka tentu saja $\partial\varphi(\vec{r})/\partial\alpha = 0$, sehingga
\[ \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial\alpha} = \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\alpha} + \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha} + \frac{\partial\varphi(\vec{r})}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial\alpha} = 0 \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{r}}{\partial\alpha}\cdot\nabla\varphi(\vec{r}) = 0. \]
Tampak bahwa pada persamaan terakhir, $\partial\vec{r}/\partial\alpha$ dan $\nabla\varphi(\vec{r})$ saling tegak lurus, sehingga $\partial\vec{r}/\partial\alpha$ merupakan salah satu vektor singgung pada $S(\varphi)$ di titik $\vec{r}$, sedangkan $\nabla\varphi(\vec{r})$ adalah salah satu vektor normal pada $S(\varphi)$ di titik $\vec{r}$.

Sekian dan terima kasih.