Pembuktian Teorema Sumbu Sejajar

[cotrans]

Moshi moshi.

\section{Pembuktian Teorema Sumbu Sejajar}

Momen inersia sebuah benda $M \subseteq \mathbb{R}^3$ terhadap sumbu putar $L := \{ k\hat{v} ~|~ k \in \mathbb{R} \}$, di mana $\hat{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah sebarang vektor satuan yang konstan, adalah
\[ I = \int_M |\vec{r}\times\hat{v}|^2 dm \]
di mana $\vec{r} \in M$, $dm := \rho\,|d^3\vec{r}|$ adalah elemen massa dari $M$, $\rho \in \mathbb{R}$ adalah rapat massa per satuan volum, dan $d^3\vec{r}$ adalah elemen volum dari $M$.

Pusat massa dari $M$ tentu saja adalah
\[ \vec{r}_{\text{cm}} := \left(\int_M \vec{r}\,dm\right)\left/\left(\int_M dm\right)\right. \]
yang konstan.

Posisi titik pada $M$ relatif terhadap pusat massa adalah $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{r}_{\text{cm}}$, sehingga
\[ I = \int_M |(\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{r}')\times\hat{v}|^2dm. \]
\[ I = \int_M \left(|\vec{r}_{cm}\times\hat{v}|^2 + |\vec{r}'\times\hat{v}|^2 + 2(\vec{r}_{\text{cm}}\times\hat{v})\cdot(\vec{r}'\times\hat{v})\right)dm. \]
Karena
\[ \int_M \vec{r}'\times\hat{v}dm = \int_M (\vec{r} - \vec{r}_{\text{cm}})\times\hat{v}\,dm \]
\[ = \int_M \left(\vec{r} - \frac{\int_M \vec{r}\,dm}{\int_M dm}\right)\times\hat{v}\,dm = \int_M \vec{r}\times\hat{v}\,dm - \int_M \vec{r}\times\hat{v}\,dm = \vec{0}, \]
maka
\[ I = |\vec{r}_{\text{cm}}\times\hat{v}|^2\int_M dm + \int_M |\vec{r}'\times\hat{v}|^2dm. \]
Andaikan $|\vec{r}_{\text{cm}}\times\hat{v}| =: l$ dan $\int_M dm = m$ serta $\int_M |\vec{r}'\times\hat{v}|^2dm =: I_{\text{cm}}$, maka
\[ I = ml^2 + I_{\text{cm}} \]
yang mengatakan bahwa momen inersia dari $M$ yang bermassa $m$ terhadap garis $L$ sama dengan jumlahan dari momen inersia dari $M$ terhadap garis $L'$ yang sejajar $L$ yang melalui pusat massa $\vec{r}_{\text{cm}}$ dengan perkalian antara $m$ dan kuadrat dari jarak garis $L$ dan $L'$.

Allahu Akbar.