Bentuk Eksplisit dari Anggota Grup $SL(2, F)$

[cotrans]

Kula Nuwun.

\section{Bentuk Eksplisit dari Anggota Grup $SL(2, F)$}

Himpunan semua matriks $2\times 2$ yang setiap unsurnya merupakan anggota dari lapangan $F$ dinyatakan sebagai $ML(2, F)$.  Grup $SL(2, F)$ didefinisikan sebagai
\[ SL(2, F) := \{ A \in ML(2, F) ~|~ \det A = 1 \}. \]
Misalkan anggota $SL(2, F)$ dinyatakan sebagai
\[ A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL(2, F). \]
Karena $\det A = 1$, maka
\[ ad - bc = 1. \]
Karena $\cosh^2u - \sinh^2u = 1$ untuk setiap $u \in F$, maka haruslah
\[ ad = \cosh^2u ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ bc = \sinh^2u \]
sehingga (misalnya)
\[ d = a^{-1}\cosh^2u ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ c = b^{-1}\sinh^2u. \]
Oleh karena itu, bentuk eksplisit dari anggota $SL(2, F)$ adalah
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ b^{-1}\sinh^2u & a^{-1}\cosh^2u \end{pmatrix}. \]
Jadi, grup $SL(2, F)$ ini berdimensi $3\dim F$.

Sekian dan terima kasih.