Bentuk Arus yang Sebenarnya dari Tegangan Sinusoidal pada Rangkaian Seri

[cotrans]

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

\section{Bentuk Arus yang Sebenarnya dari Tegangan Sinusoidal pada Rangkaian Seri}

Misalkan ada sebuah rangkaian yang terdiri dari sebuah sumber tegangan sinusoidal, yaitu $V := V_0e^{i(\omega t + \phi)} \in \mathbb{R}$, sebuah resistor dengan resistansi $R \in \mathbb{R}^+$, sebuah kapasitor dengan kapasitansi $C \in \mathbb{R}^+$, dan sebuah induktor dengan induktansi $L \in \mathbb{R}^+$ yang semuanya dirangkai seri.  Di sini, $V_0, \omega, \phi \in \mathbb{R}$ masing-masing adalah konstanta, $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner satuan, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Kita akan mencari arus $I \in \mathbb{R}$ yang bergantung pada $t$.

Dari hukum tegangan Kirchhoff, diperoleh
\[ L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{1}{C}\left(Q_0 + \int_0^t I\,dt\right) = V \]
di mana $Q_0 \in \mathbb{R}$ adalah sebuah konstanta.  Karena $I = dQ/dt$, di mana $Q \in \mathbb{R}$ adalah muatan listrik yang bergantung pada $t$ yang mengalir menembus tampang lintang kawat, serta $Q_0$ adalah nilai $Q$ saat $t = 0$, maka persamaan terakhir dapat ditulis menjadi
\[ Ld^2Q/dt^2 + RdQ/dt + C^{-1}Q = V_0e^{i(\omega t + \phi)}. \]
Selanjutnya, $Q$ dapat ditulis sebagai $Q := Q_p + Q_c$ sedemikian rupa sehingga
\[ Ld^2Q_p/dt^2 + RdQ_p/dt + C^{-1}Q_p = V_0e^{i(\omega t + \phi)} \]
serta
\[ Ld^2Q_c/dt^2 + RdQ_c/dt + C^{-1}Q_c = 0. \]
Anzat bagi $Q_p$ adalah $Q_p := Ae^{i(\omega t - \phi)}$ di mana $A \in \mathbb{C}$ adalah tetapan yang akan dicari kemudian.  Dengan memasukkan anzat tersebut ke dalam persamaan $Q_p$, diperoleh
\[ (-\omega^2L + i\omega R + C^{-1})A = V_0 \]
sehingga
\[ A = V_0/[\omega(-\omega L + iR + 1/(\omega C))]. \]
Oleh karena itu,
\[ Q_p = V_0e^{i(\omega t + \phi)}/[\omega(-\omega L + iR + 1/(\omega C))]. \]
Penyelesaian umum persamaan $Q_c$ adalah
\[ Q_c = \frac{[(dQ_c/dt)_0 - k_-Q_{c0}]e^{k_+t} + [k_+Q_{c0} - (dQ_c/dt)_0]e^{k_-t}}{k_+ - k_-} \]
di mana
\[ k_\pm := \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4L/C}}{2L} \]
serta $Q_{c0} \in \mathbb{R}$ adalah nilai $Q_c$ saat $t = 0$, dan $(dQ/dt)_0 \in \mathbb{R}$ adalah nilai $dQ_c/dt$ saat $t = 0$.  Oleh karena itu,
\[ I = dQ/dt = dQ_p/dt + dQ_c/dt. \]
\[ I = V_0e^{i(\omega t + \phi)}/[R + i(\omega L - 1/(\omega C))] + \frac{k_+[(dQ_c/dt)_0 - k_-Q_{c0}]e^{k_+t} + k_-[k_+Q_{c0} - (dQ_c/dt)_0]e^{k_-t}}{k_+ - k_-}. \]
Impedansi dari rangkaian tersebut adalah $Z := V/I$.

Kasus khusus, apabila $Q_{c0} = 0$ dan $(dQ_c/dt)_0 = 0$, maka
\[ I = V_0e^{i(\omega t + \phi)}/[R + i(\omega L - 1/(\omega C))] \]
sehingga impedansinya adalah
\[ Z = R + i[\omega L - 1/(\omega C)]. \]
Modulus dari $Z$ adalah
\[ |Z| = \sqrt{R^2 + [\omega L - 1/(\omega C)]^2}. \]
Andaikan didefinisikan $X_L := i\omega L$ dan $X_C := 1/(i\omega C)$, maka diperoleh
\[ Z = R + X_L + X_C \]
sesuai dengan yang diharapkan.

Sekian dan terima kasih.