Titik Berat Suatu Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$

[cotrans]

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.

\section{Titik Berat Suatu Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$}

Titik berat sebuah segitiga merupakan perpotongan dari sekurang-kurangnya dua dari tiga buah garis berat pada segitiga tersebut.

Misalnya ada segitiga di ruang $\mathbb{R}^n$ yang ketiga titik sudutnya adalah $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \in \mathbb{R}^n$.  Posisi garis berat yang melalui titik $\vec{A}$ tentu saja adalah $\vec{A}' := \vec{A} + a[(1/2)(\vec{B} + \vec{C}) - \vec{A}]$ di mana $a \in \mathbb{R}$ adalah parameternya.  Posisi garis berat yang melalui titik $\vec{B}$ tentu saja adalah $\vec{B}' := \vec{B} + b[(1/2)(\vec{C} + \vec{A}) - \vec{B}]$ di mana $b \in \mathbb{R}$ adalah parameternya.  Agar kedua garis berat tersebut bertemu di suatu titik berat, katakanlah $\vec{Z} \in \mathbb{R}^n$, maka haruslah $\vec{A}' = \vec{B}' = \vec{Z}$ alias
\[ \vec{A} + a[(1/2)(\vec{B} + \vec{C}) - \vec{A}] = \vec{B} + b[(1/2)(\vec{C} + \vec{A}) - \vec{B}] \]
alias
\[ (1 - a - b/2)\vec{A} + (a/2 - 1 + b)\vec{B} + (a/2 - b/2)\vec{C} = \vec{0}. \]
Oleh karena itu, haruslah
\[ 1 - a - b/2 = 0, ~~~~~ a/2 - 1 + b = 0, ~~~~~ a - b = 0 \]
alias $b = a$, lalu $1 - a - a/2 = 0$ alias $a = 2/3$, lalu $b/2 - 1 + b = 0$ alias $b = 2/3$.  Jadi,
\[ \vec{Z} = \vec{A} + (2/3)[(1/2)(\vec{B} + \vec{C}) - \vec{A}] \]
alias
\[ \vec{Z} = (1/3)(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}). \]

Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.