Faktor Lorentz dalam Relativitas Umum

[cotrans]

Namo Buddhaya.

\section{Faktor Lorentz dalam Relativitas Umum}

Dalam teori relativitas khusus, kita telah mengenal faktor Lorentz, yaitu $\gamma := 1/\sqrt{1 - (|\vec{v}|/c)^2}$, di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan partikel, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Kita juga telah mengenal kaitan $dt = \gamma d\tau$, di mana $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $\tau \in \mathbb{R}$ adalah swa-waktu.  Tentunya, kaitan terakhir ini dapat kita tuliskan sebagai
\[ (c^2 - |\vec{v}|^2)dt^2 = c^2d\tau^2 \]
alias
\[ c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2d\tau^2 \]
di mana $\vec{v} := (v_x, v_y, v_z) \in \mathbb{R}^3$, $v_x := dx/dt$, $v_y := dy/dt$, $v_z := dz/dt$, serta $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor posisi.  Tampak bahwa persamaan terakhir dapat kita tuliskan sebagai
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}dq^idq^j = c^2d\tau^2 \]
di mana $g_{00} := c^2$, $g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1$, dan $(g_{ij})_{j \neq i} = 0$.  Di sini, $g_{ij}$ merupakan komponen kovarian dari tensor metrik, serta $q^i$ adalah koordinat umum untuk setiap $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, dengan $q^0 := t$, $q^1 := x$, $q^2 := y$, dan $q^3 := z$.  Selanjutnya, persamaan terakhir akan diperumum untuk sebarang metrik yang merupakan ciri khas relativitas umum.  Persamaan terakhir tersebut dapat disajikan sebagai
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}dt^2 = c^2d\tau^2 \]
alias
\[ dt = \frac{c}{\sqrt{\sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}}}d\tau \]
yang akan dipadankan dengan persamaan $dt = \gamma d\tau$, sehingga diperoleh
\[ \gamma := \frac{c}{\sqrt{\sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}}} \]
yang merupakan faktor Lorentz dalam relativitas umum.

Lantas, berapa kelajuan cahaya untuk sebarang metrik?  Jawabannya adalah sebagai berikut.  Untuk cahaya, dipostulatkan $d\tau = 0$ sehingga diperoleh
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt} = 0 \]
sementara kelajuan cahaya dalam relativitas umum adalah $C \in \mathbb{R}^+$ sedemikian
\[ C^2 = \sum_{i, j = 1}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}. \]
di mana $q^1, q^2, q^3$ memenuhi persamaan kedua dari bawah.

Berkah Dalem Gusti.