Dinamika Gelombang Kebolehjadian

[cotrans]

Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

\section{Dinamika Gelombang Kebolehjadian}

Gelombang kebolehjadian $\Psi \in \mathbb{C}$ diatur oleh persamaan Schrodinger $\hat{H}\Psi = i\hbar\partial\Psi/\partial t$, di mana $\hat{H}$ merupakan operator variabel Hamiltonian yang bergantung pada posisi 1-dimensi $x \in \mathbb{R}$, $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan khayal satuan, $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.

Andaikan dimisalkan $\Psi := \psi\tau$ di mana $\psi \in \mathbb{C}$ bergantung pada $x$, dan $\tau \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $t$.  Persamaan $\hat{H}\Psi = i\hbar\partial\Psi/\partial t$ menjadi $\tau\hat{H}\psi = i\hbar\psi d\tau/dt$ alias $(1/\psi)\hat{H}\psi = i\hbar(1/\tau)d\tau/dt = E$ di mana $E \in \mathbb{R}$ adalah tetapan pemisahan, dengan alasan bahwa ruas kiri persamaan terakhir hanya bergantung pada $x$ dan ruas kanan persamaan terakhir hanya bergantung pada $t$ sehingga kedua ruas persamaan terakhir haruslah merupakan tetapan, yang dimisalkan sebagai $E$.  Oleh karena itu, $\hat{H}\psi = E\psi$ dan $d\tau/\tau = -(i/\hbar)E\,dt$ alias $\ln(\tau/\tau_0) = -(i/\hbar)Et$ alias $\tau = \tau_0e^{-iEt/\hbar}$ di mana $\tau_0 = \tau_t(0)$ adalah nilai $\tau$ ketika $t = 0$.  Dalam hal ini, $\psi$ adalah penyelesaian persamaan swa-nilai $\hat{H}\psi = E\psi$.  Besaran $\psi$ dan $E$ dapat bersifat diskrit maupun kontinyu.

Sekarang, $\Psi$ akan dinyatakan ke dalam bentuk yang lebih umum, yaitu
\[ \Psi = \tau_0\int_{-\infty}^\infty \tilde{\psi}\psi e^{-iEt/\hbar}dE \]
di mana $\tilde{\psi} \in \mathbb{C}$ merupakan koefisien kombinasi linier yang hanya bergantung pada $E$, dan kali ini $\psi$ bergantung pada $x$ dan $E$, sehingga dengan demikian $\Psi$ bergantung pada $x$ dan $t$.

Oleh karena itu, karena $\psi$ ternormalisasi, yaitu bahwa $\int_{-\infty}^\infty |\psi|^2 dx = 1$, maka
\[ \int_{-\infty}^\infty \Psi\psi^*dx = \tau_0\int_{-\infty}^\infty \tilde{\psi}e^{-iEt/\hbar}dE. \]
Selanjutnya,
\[ \int_{-\infty}^\infty e^{iE't/\hbar} \int_{-\infty}^\infty \Psi\psi^*dx\,dt = \tau_0\int_{-\infty}^\infty \tilde{\psi}\int_{-\infty}^\infty e^{i(E' - E)t/\hbar}dt\,dE \]
\[ = 2\pi\hbar\tau_0\int_{-\infty}^\infty \tilde{\psi}\delta(E' - E)dE = 2\pi\hbar\tau_0\tilde{\psi}_E(E') \]
sehingga
\[ \tilde{\psi} = \frac{1}{2\pi\hbar\tau_0}\int_{-\infty}^\infty e^{iEt/\hbar}\int_{-\infty}^\infty \Psi\psi^*dx\,dt. \]
Dengan demikian diperoleh dinamika gelombang kebolehjadian.

Gloria in excelsis Deo.