Kecepatan Fase dan Kecepatan Grup Gelombang Partikel Relativistik

[cotrans]

Horas.

\section{Kecepatan Fase dan Kecepatan Grup Gelombang Partikel Relativistik}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}$ ada dua buah gelombang satu-dimensi yang berbeda tipis dalam bilangan gelombang $k \in \mathbb{R}$ dan frekuensi sudut gelombang $\omega \in \mathbb{R}$, tetapi amplitudo $A \in \mathbb{R}^+$ keduanya sama, yaitu
\[ \Psi_1 := A\cos(kx - \omega t) \in \mathbb{R} \]
dan
\[ \Psi_2 := A\cos[(k + dk)x - (\omega + d\omega)t] \in \mathbb{R} \]
di mana $x \in \mathbb{R}$ adalah posisi 1-dimensi dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.

Superposisi kedua gelombang tadi adalah
\[ \Psi := \Psi_1 + \Psi_2. \]
Dalam trigonometri ada identitas
\[ \cos\alpha + \cos\beta \]
\[ = \cos[\frac{1}{2}(\alpha + \beta) + \frac{1}{2}(\alpha - \beta)] + \cos[\frac{1}{2}(\alpha + \beta) - \frac{1}{2}(\alpha - \beta)] \]
\[ = 2\cos\frac{1}{2}(\alpha + \beta)\cos\frac{1}{2}(\alpha - \beta) \]
sehingga
\[ \Psi = 2A\cos\frac{1}{2}[(2k + dk)x - (2\omega + d\omega)t]\cos\frac{1}{2}(dk\,x - d\omega\,t). \]
Karena $dk$ dan $d\omega$ itu mendekati nol, maka persamaan terakhir hampir sama dengan
\[ \Psi = 2A\cos(kx - \omega t)\cos\frac{1}{2}(dk\,x - d\omega\,t). \]
Dengan demikian superposisi tersebut menghasilkan grup gelombang yang termodulasi.

Kecepatan fase dari $\Psi$ tersebut adalah $v_{\text{ph}} := \omega/k$, sedangkan kecepatan grup dari $\Psi$ tersebut adalah $v_{\text{gr}} := d\omega/dk$.

Andaikan gerak gelombang tersebut mewakili gerak sebuah partikel bermassa rehat $m_0 \in \mathbb{R}^+$.  Tenaga relativistik partikel tersebut tentu saja adalah
\[ E = \hbar\omega = m_0c^2\gamma \]
di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, $\gamma := 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$, dan $v$ adalah kecepatan 1-dimensi dari partikel tersebut, sehingga
\[ \omega = m_0c^2\gamma/\hbar. \]
Momentum linier partikel tersebut tentu saja adalah
\[ p = \hbar k = m_0v\gamma \]
sehingga
\[ k = m_0v\gamma/\hbar. \]
Tentu saja kecepatan fase dari $\Psi$ adalah
\[ v_{\text{ph}} = \omega/k = c^2/v \]
yang nilainya selalu tak kurang dari $c$.

Kecepatan grup dari $\Psi$ tentu saja adalah
\[ v_{\text{gr}} = d\omega/dk = (d\omega/dv)/(dk/dv). \]
\[ \frac{d\omega}{dv} = \frac{m_0c^2}{\hbar}\frac{d\gamma}{dv}. \]
\[ \frac{d\gamma}{dv} = -\frac{1}{2}\gamma^3\left(-2\frac{v}{c^2}\right) = \gamma^3\frac{v}{c^2} \]
sehingga
\[ \frac{d\omega}{dv} = \frac{m_0c^2}{\hbar}\gamma^3\frac{v}{c^2} = \frac{m_0}{\hbar}v\gamma^3. \]
\[ \frac{dk}{dv} = \frac{m_0}{\hbar}\left(\gamma + v\frac{d\gamma}{dv}\right) = \frac{m_0}{\hbar}\left(\gamma + \frac{v^2}{c^2}\gamma^3\right) \]
\[ = \frac{m_0}{\hbar}\gamma\left(1 + \frac{v^2}{c^2}\gamma^2\right) = \frac{m_0}{\hbar}\gamma[1 + (1 - \gamma^{-2})\gamma^2] \]
\[ = m_0\gamma^3/\hbar \]
sehingga kecepatan grup dari $\Psi$ adalah $v_{\text{gr}} = v$ yang nilainya selalu tak lebih dari $c$.

Sekian dan terima kasih.