Mencari Penyelesaian Singular dari Persamaan Diferensial

[cotrans]

Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.

\section{Mencari Penyelesaian Singular dari Persamaan Diferensial}

Andaikan ada sebuah persamaan diferensial, yaitu
\[ y = px + 2p^2 \]
di mana $x, y \in \mathbb{R}$, $p := dy/dx$, dan $y$ bergantung pada $x$.

Primitif dari persamaan diferensial tersebut tentu saja adalah
\[ y = Cx + 2C^2 \]
di mana $C \in \mathbb{R}$ adalah sebuah tetapan sebarang.

Ternyata, primitif tersebut adalah lokus dari keluarga garis-garis singgung pada sebuah kurva yang akan kita cari kemudian.

Untuk mencari lokus dari kurva tersebut, mula-mula, kita misalkan $C := kx_0$ di mana $k \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak kita cari, dan $x_0 \in \mathbb{R}$ adalah absis dari titik singgung garis tersebut pada kurva yang hendak kita cari kemudian, sehingga
\[ y = kx_0x + 2k^2x_0^2. \]
Apabila kedua ruas persamaan terakhir ditambah dengan $y_0 \in \mathbb{R}$ yang merupakan ordinat dari titik singgung tersebut, maka
\[ y + y_0 = kx_0x + (y_0 + 2k^2x_0^2). \]
Tentu saja, lokus dari kurva tersebut adalah
\[ 2y = kx^2 + (y_0 + 2k^2x_0^2) \]
alias
\[ 2y - kx^2 = y_0 + 2k^2x_0^2 = m \]
di mana $m \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak dicari kemudian.

Kita dapat menuliskan
\[ y = (m + kx^2)/2 \]
dan
\[ y_0 = m - 2k^2x_0^2 \]
sehingga
\[ y_0 = (m + kx_0^2)/2. \]
Oleh karena itu,
\[ m - 2k^2x_0^2 = (m + kx_0^2)/2. \]
Dengan menyamakan koefisien dari $1$ dan $x_0^2$, maka diperoleh $m = m/2$ dan $-2k^2 = k/2$, alias $m = 0$ dan $k = -1/4$ sehingga lokus dari kurva tersebut adalah
\[ 2y - kx^2 = m \]
alias
\[ 2y - (-1/4)x^2 = 0 \]
alias
\[ x^2 + 8y = 0 \]
yang merupakan lokus dari kurva parabola.

Syukur kepada Allah.