Jacobian

[cotrans]

Ahlan wa Sahlan.

\section{Jacobian}

Andaikan $x_{j_i} \in \mathbb{R}$ untuk semua $j_i \in \{ 1, \cdots, n \}$ dan untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, r \}$ di mana $n, r \in \mathbb{N}$.  Andaikan pula $y_{k_m} \in \mathbb{R}$ untuk semua $k_m \in \{ 1, \cdots n \}$ dan untuk semua $m \in \{ 1, \cdots, r \}$.  Andaikan pula $x_{j_i}$ bergantung pada $y_{k_m}$ untuk semua $j_i, k_m \in \{ 1, \cdots, n \}$ dan untuk semua $i, m \in \{ 1, \cdots, r \}$.  Oleh karena itu,
\[ \omega := dx_{j_1}\wedge\cdots\wedge dx_{j_r} = \left(\sum_{k_1 = 1}^n \frac{\partial x_{j_1}}{\partial y_{k_1}}dy_{k_1}\right)\wedge\cdots\wedge\left(\sum_{k_r = 1}^n \frac{\partial x_{j_r}}{\partial y_{k_r}}dy_{k_r}\right) \]
\[ = \frac{1}{r!}\sum_{k_1, \cdots, k_r = 1}^n \begin{vmatrix} \partial x_{j_1}/\partial y_{k_1} & \cdots & \partial x_{j_1}/\partial y_{k_r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial x_{j_r}/\partial y_{k_1} & \cdots & \partial x_{j_r}/\partial y_{k_r} \end{vmatrix} dy_{k_1}\wedge\cdots\wedge dy_{k_r}. \]
Apabila $n = r$, maka
\[ \omega = dx_{1}\wedge\cdots\wedge dx_{n} = \begin{vmatrix} \partial x_{1}/\partial y_{1} & \cdots & \partial x_{1}/\partial y_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial x_{n}/\partial y_{1} & \cdots & \partial x_{n}/\partial y_{n} \end{vmatrix} dy_{1}\wedge\cdots\wedge dy_{n}. \]
Apabila $n < r$, maka $\omega = 0$.

Sampai jumpa lagi.