Penyelesaian Persamaan Schrodinger Relativistik untuk Tenaga Potensial Konstan

[Roni]

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

\section{Penyelesaian Persamaan Schrodinger Relativistik untuk Tenaga Potensial Konstan}

Persamaan Schrodinger relativistik adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) + V\left(\Psi - \frac{1}{2mc^2}\left(V\Psi - 2i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)\right) = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \]
di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $m \in \mathbb{R}$ adalah massa rehat partikel yang mewakili gelombang kebolehjadian, $\Psi \in \mathbb{C}$ adalah gelombang kebolehjadian yang bergantung pada posisi $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ dan waktu $t \in \mathbb{R}$, dan $V \in \mathbb{R}$ adalah tenaga potensial yang konstan.

Andaikan $\Psi := \psi T$ di mana $\psi \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $\vec{r}$, dan $T \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $t$, maka
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{\psi}\nabla^2\psi - \frac{1}{c^2T}\frac{d^2T}{dt^2}\right) + V\left(1 - \frac{1}{2mc^2}\left(V - 2i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}\right)\right) = i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} \]
alias
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\nabla^2\psi = -\frac{\hbar^2}{2mc^2}\frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} \]
\[ - V\left(1 - \frac{1}{2mc^2}\left(V - 2i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}\right)\right) \]
\[ + i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m}k^2 \]
di mana $k \in \mathbb{C}$ adalah tetapan pemisahan variabel $\vec{r}$ dan $t$.

Selanjutnya,
\[ \frac{1}{\psi}\nabla^2\psi = \frac{1}{c^2}\frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} + \frac{2m}{\hbar^2}V\left(1 - \frac{1}{2mc^2}\left(V - 2i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}\right)\right) \]
\[ - \frac{2im}{\hbar}\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = k^2. \]

Persamaan yang hanya mengandung $\vec{r}$ adalah
\[ \nabla^2\psi = k^2\psi \]
alias
\[ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = k^2\psi. \]
Apabila $\psi := XYZ$ di mana $X \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $x$, $Y \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $y$, dan $Z \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $z$, maka
\[ \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = k^2 \]
yang dipecah menjadi tiga buah persamaan, yaitu
\[ \frac{d^2X}{dx^2} = k_x^2, ~~~~~ \frac{d^2Y}{dy^2} = k_y^2, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{d^2Z}{dz^2} = k_z^2 \]
sedemikian $k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2$.  Penyelesaian umumnya adalah
\[ X = X_+e^{k_xx} + X_-e^{-k_xx} =: X_{k_x}, \]
\[ Y = Y_+e^{k_yy} + Y_-e^{-k_yy} =: Y_{k_y}, \]
\[ Z = Z_+e^{k_zz} + Z_-e^{-k_zz} =: Z_{k_z}. \]

Persamaan yang hanya mengandung $t$ adalah
\[ \frac{1}{c^2}\frac{d^2T}{dt^2} + \frac{2i}{\hbar}\left(\frac{V}{c^2} - m\right)\frac{dT}{dt} + \left(\frac{2m}{\hbar^2}V\left(1 - \frac{V}{2mc^2}\right) - k^2\right)T = 0 \]
yang penyelesaiannya adalah
\[ T = T_+e^{\alpha_+t} + T_-e^{\alpha_-t} =: T_{k_xk_yk_z} \]
di mana
\[ \alpha_\pm := ic^2\left[-\frac{1}{\hbar}\left(\frac{V}{c^2} - m\right) \pm \sqrt{\left(\frac{1}{\hbar}\left(\frac{V}{c^2} - m\right)\right)^2 + \frac{1}{c^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}V\left(1 - \frac{V}{2mc^2}\right) - k^2\right)}\right]. \]

Jadi, penyelesaian umum persamaan Schrodinger relativistik tersebut adalah
\[ \Psi = \sum_{k_x, k_y, k_z \in \mathbb{C}} \beta_{k_xk_yk_z}X_{k_x}Y_{k_y}Z_{k_z}T_{k_xk_yk_z} \]
di mana $\beta_{k_xk_yk_z} \in \mathbb{C}$ adalah koefisien kombinasi linier.

Terpujilah Kristus.