Daerah Konvergensi Deret Taylor

[cotrans]

Kula Nuwun.

\section{Daerah Konvergensi Deret Taylor}

Misalkan ada sebuah fungsi $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.  Deret Taylor dari $f(x)$ di sekitar titik $h \in \mathbb{R}$ adalah
\[ f(x) = \sum_{j = 0}^\infty \frac{1}{j!}f^{(j)}(h)(x - h)^j \]
di mana didefinisikan
\[ f^{(j)}(h) := \lim_{x \to h}\frac{d^jf(x)}{dx^j}. \]
Menurut tes rasio, deret $\sum_{j = 0}^\infty u_j$ (di mana $u_j \in \mathbb{R}$ untuk setiap $j \in \mathbb{N}_0$) bersifat konvergen apabila
\[ \lim_{j \to \infty} \left|\frac{u_{j + 1}}{u_j}\right| < 1. \]
sehingga deret Taylor dari $f(x)$ tersebut bersifat konvergen apabila
\[ \lim_{j \to \infty} \left|\frac{1}{j + 1}\frac{f^{(j + 1)}(h)}{f^{(j)}(h)}(x - h)\right| < 1  \]
alias
\[ |x - h| < \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| \]
alias
\[ -\lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| < x - h < \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| \]
alias
\[ h - \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right| < x < h + \lim_{j \to \infty} \left|(j + 1)\frac{f^{(j)}(h)}{f^{(j + 1)}(h)}\right|. \]
Inilah daerah konvergensi deret Taylor dari $f(x)$.

Allahu Akbar.