Perkalian antara Dua Buah Bentuk Produk Skalar Tripel

[cotrans]

Hosana in excelcis.

\section{Perkalian antara Dua Buah Bentuk Produk Skalar Tripel}

Andaikan ada dua buah bentuk produk skalar tripel, yaitu
\[ \alpha := \frac{1}{3!}\alpha_{ijk}[\hat{x}_i, \hat{x}_j, \hat{x}_k] ~~~~~ \text{dan} ~~~~~~ \beta = \frac{1}{3!}\beta_{lmn}[\hat{x}_l, \hat{x}_m, \hat{x}_n] \]
di mana di sini telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang.  Indeks $i, j, k, l, m, n$ bergerak dari $1$ sampai dengan $p \in \mathbb{N}$.  Di sini, $\alpha_{ijk} \in \mathbb{R}$ dan $\beta_{lmn} \in \mathbb{R}$ bersifat antisimetris berturut-turut terhadap pertukaran indeks $i, j, k$ dan $l, m, n$.  Demikian pula didefinisikan
\[ \hat{x}_i := (\underset{p}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{i}{1}, 0, \cdots, 0}}) \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, p \}$.  Selain itu, didefinisikan $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] := (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$.

Tentu saja,
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!^2}\alpha_{ijk}\beta_{lmn}\begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix}. \]
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!^2}\alpha_{ijk}\beta_{lmn}(\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} \]
\[ - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl}). \]
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!^2}\alpha_{ijk}(\beta_{ijk} + \beta_{kij} + \beta_{jki} - \beta_{ikj} - \beta_{jik} - \beta_{kji}). \]
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!}\alpha_{ijk}\beta_{ijk}. \]

Apabila sebagai contoh, $p = 3$, maka
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!}(\alpha_{123}\beta_{123} + \alpha_{132}\beta_{132} + \alpha_{213}\beta_{213} + \alpha_{231}\beta_{231} + \alpha_{312}\beta_{312} + \alpha_{321}\beta_{321}) \]
sehingga
\[ \alpha\beta = \alpha_{123}\beta_{123}. \]

Sampai jumpa lagi.