Membalik Transformasi Dilatasi Titik oleh Bidang

[Roni]

Wa'alaikumsalam warahmatullahi wabarakatuh.

\section{Membalik Transformasi Dilatasi Titik oleh Bidang}

Titik $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ yang di-dilatasi dengan faktor $k \in \mathbb{R}$ oleh bidang datar $\{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\vec{N} = 0 \}$, di mana $\vec{N}, \vec{r}_0 \in \mathbb{R}^3$, akan memiliki bayangan
\[ \vec{r}' := (x', y', z') = \vec{r} + (k - 1)(\vec{r} - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}\hat{N}. \]
Di sini, $\hat{N} := \vec{N}/|\vec{N}| = (N_x, N_y, N_z)$.
\[ \vec{r}' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}\hat{N} = \vec{r} + (k - 1)\vec{r}\cdot\hat{N}\hat{N}. \]
Penguraian persamaan terakhir ke dalam ketiga komponennya menghasilkan
\[ \alpha_x := x' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}N_x = x + (k - 1)(N_xx + N_yy + N_zz)N_x,  \]
\[ \alpha_y := y' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}N_y = y + (k - 1)(N_xx + N_yy + N_zz)N_y,  \]
\[ \alpha_z := z' + (k - 1)\vec{r}_0\cdot\hat{N}N_z = z + (k - 1)(N_xx + N_yy + N_zz)N_z.  \]
Dengan sedikit pengaturan, ketiga persamaan terakhir menjadi
\[ [1 + (k - 1)N_x^2]x + (k - 1)N_yN_xy + (k - 1)N_zN_xz = \alpha_x, \]
\[ (k - 1)N_xN_yx + [1 + (k - 1)N_y^2]y + (k - 1)N_zN_yz = \alpha_y, \]
\[ (k - 1)N_xN_zx + (k - 1)N_yN_zy + [1 + (k - 1)N_z^2]z = \alpha_z. \]
Penyajian matriks dari ketiga persamaan terakhir menghasilkan
\[ \begin{pmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & (k - 1)N_yN_x & (k - 1)N_zN_x \\ (k - 1)N_xN_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & (k - 1)N_zN_y \\ (k - 1)N_xN_z & (k - 1)N_yN_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{pmatrix}. \]
Andaikan didefinisikan determinan
\[ \Delta := \begin{vmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & (k - 1)N_yN_x & (k - 1)N_zN_x \\ (k - 1)N_xN_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & (k - 1)N_zN_y \\ (k - 1)N_xN_z & (k - 1)N_yN_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{vmatrix}, \]
\[ \Delta_x := \begin{vmatrix} \alpha_x & (k - 1)N_yN_x & (k - 1)N_zN_x \\ \alpha_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & (k - 1)N_zN_y \\ \alpha_z & (k - 1)N_yN_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{vmatrix}, \]
\[ \Delta_y := \begin{vmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & \alpha_x & (k - 1)N_zN_x \\ (k - 1)N_xN_y & \alpha_y & (k - 1)N_zN_y \\ (k - 1)N_xN_z & \alpha_z & 1 + (k - 1)N_z^2 \end{vmatrix}, \]
\[ \Delta_z := \begin{vmatrix} 1 + (k - 1)N_x^2 & (k - 1)N_yN_x & \alpha_x \\ (k - 1)N_xN_y & 1 + (k - 1)N_y^2 & \alpha_y \\ (k - 1)N_xN_z & (k - 1)N_yN_z & \alpha_z \end{vmatrix}, \]
maka diperoleh
\[ \Delta = k, \]
\[ x = \Delta_x/\Delta = x' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}N_x, \]
\[ y = \Delta_y/\Delta = y' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}N_y, \]
\[ z = \Delta_z/\Delta = z' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}N_z, \]
sehingga penggabungan ketiga persamaan terakhir menjadi
\[ \vec{r} = \vec{r}' + (k^{-1} - 1)(\vec{r}' - \vec{r}_0)\cdot\hat{N}\hat{N}. \]
Inilah transformasi baliknya.

Sayonara zetsubou sensei.