Swa-Nilai Operator Spin pada Partikel yang Dipengaruhi oleh Medan Magnet dengan

[Roni]

Bismillahirrahmanirrahim.

\section{Swa-Nilai Operator Spin pada Partikel yang Dipengaruhi oleh Medan Magnet dengan Arah Tertentu}

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada sebuah medan magnet seragam $\vec{B} := B_0\vec{n} \in \mathbb{R}^3$ di mana $B_0 \in \mathbb{R}$ dan $\vec{n} := \vec{B}/|\vec{B}| = (n_x, n_y, n_z) \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor satuan.  Misalkan pula ada partikel kuantum yang dipengaruhi oleh $\vec{B}$ tersebut yang diwakili oleh fungsi gelombang $\psi \in C^\infty(\mathbb{R}^3, \mathbb{C})$ yang apabila dikenai operator vektor momentum sudut spin $\hat{\vec{S}} := (\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z) \,:\, C^\infty(\mathbb{R}^3, \mathbb{C}) \to C^\infty(\mathbb{R}^3, \mathbb{C})$ memiliki swa-nilai sedemikian rupa sehingga
\[ \vec{n}\cdot\hat{\vec{S}}\psi = \vec{n}\cdot\vec{S}\psi ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ |\hat{\vec{S}}|^2\psi = |\vec{S}|^2\psi \]
sedemikian $\vec{n}\cdot\vec{S} = m_s\hbar$ dan $|\vec{S}|^2 = s(s + 1)\hbar^2$, di mana $s \in (1/2)\mathbb{N}$ adalah bilangan kuantum spin, $m_l \in \{ -s, -s + 1, -s + 2, \cdots, s - 2, s - 1, s \}$ adalah bilangan kuantum magnetik spin, dan $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi.  Oleh karena itu,
\[ n_xS_x + n_yS_y + n_zS_z = m_s\hbar ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 = s(s + 1)\hbar^2 \]
sehingga melalui proses parameterisasi, diperoleh
\[ S_x = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta\cos\phi, \]
\[ S_y = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta\sin\phi, \]
\[ S_z = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\cos\theta, \]
di mana $\theta, \phi \in \mathbb{R}$. Selanjutnya,
\[ (n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)\sin\theta + n_z\cos\theta = m_s/\sqrt{s(s + 1)} \]
alias
\[ \sqrt{n_z^2 + (n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)^2}\cos[\theta - \arctan_2(n_z, n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)] = m_s/\sqrt{s(s + 1)} \]
alias
\[ \theta = 2n\pi + \arctan_2(n_z, n_x\cos\phi + n_y\sin\phi) \pm \arccos[m_s/(\sqrt{s(s + 1)}\sqrt{n_z^2 + (n_x\cos\phi + n_y\sin\phi)^2})] =: \theta_\phi \]
di mana $n$ adalah bilangan bulat.  Oleh karena itu, nilai $S_x, S_y, S_z$ adalah
\[ S_x = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta_\phi\cos\phi, \]
\[ S_y = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\sin\theta_\phi\sin\phi, \]
\[ S_z = \hbar\sqrt{s(s + 1)}\cos\theta_\phi. \]
Apabila $\vec{n} = (0, 0, 1)$, maka diperoleh
\[ S_x = \pm\hbar\sqrt{s(s + 1) - m_s^2}\cos\phi, \]
\[ S_y = \pm\hbar\sqrt{s(s + 1) - m_s^2}\sin\phi, \]
\[ S_z = \hbar m_s, \]
sesuai yang diharapkan.

Haleluya.