Momen Inersia dari Silinder Pejal terhadap Garis yang Tegak Lurus Sumbu Utama

[cotrans]

Benedictus qui venit in nomine Domini.

\section{Momen Inersia dari Silinder Pejal terhadap Garis yang Tegak Lurus Sumbu Utama Silinder yang Melalui Pusat Massa Silinder}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$, ada sebuah silinder pejal
\[ C(R, L) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 \leq R^2, -L \leq z \leq L \} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari $C(R, L)$, dan $L \in \mathbb{R}^+$ adalah setengah panjang $C(R, L)$.

Posisi sebuah titik di $C(R, L)$ tentu saja adalah
\[ \vec{r} := (x, y, z) = (l\cos\phi, l\sin\phi, z) \in \mathbb{R}^3 \]
di mana $l \in [0, R]$, $\phi \in [0, 2\pi]$, dan $z \in [-L, L]$.  Tentu saja, momen inersia $C(R, L)$ terhadap garis $\{ k\hat{x} ~|~ k \in \mathbb{R} \}$, di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, adalah
\[ I = \int_{C(R, L)} (y^2 + z^2)dm \]
di mana $dm := \rho|d^3\vec{r}|$ adalah elemen massa dari $C(R, L)$, $\rho \in \mathbb{R}$ adalah rapat massa konstan dari $C(R, L)$, dan $d^3\vec{r} := l\,d\phi\wedge dl\wedge dz$ adalah elemen volume dari $C(R, L)$.  Oleh karena itu,
\[ I = \rho\int_{-L}^L \int_0^R \int_0^{2\pi} (l^2\sin^2\phi + z^2)l\,d\phi\,dl\,dz. \]
\[ I = \rho\int_{-L}^L \int_0^R (\pi l^2 + 2\pi z^2)l\,dl\,dz. \]
\[ I = \rho\pi\int_{-L}^L \int_0^R (l^3 + 2z^2l)dl\,dz. \]
\[ I = \rho\pi\int_{-L}^L [(1/4)R^4 + z^2R^2]dz. \]
\[ I = \rho\pi[(1/4)R^42L + (2/3)L^3R^2]. \]
Karena $\rho = M/(\pi R^22L)$ di mana $M \in \mathbb{R}^+$ adalah massa dari $C(R, L)$, maka
\[ I = \frac{M\pi}{\pi R^22L}[(1/2)R^4L + (2/3)L^3R^2]. \]
\[ I = (1/2)M[(1/2)R^2 + (2/3)L^2]. \]
Karena panjang $C(R, L)$ adalah $L' := 2L$, maka
\[ I = (1/2)M[(1/2)R^2 + (1/6)L'^2] = (1/12)M(3R^2 + L'^2). \]
Inilah momen inersia yang dimaksud di atas.

Alhamdulillah hirobbil alamin.