Forma Volume dalam Bentuk Umum

[cotrans]

Benedictus qui venit in nomine Domini.

\section{Forma Volume dalam Bentuk Umum}

Andaikan di titik $\vec{r} \in \mathbb{R}^n$ ada sebuah forma-$n$ volume alamiah, yaitu
\[ d^n\vec{r} := dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n. \]
Andaikan ada peubah lain, yaitu $q^1, \cdots, q^n \in \mathbb{R}$ yang bergantung pada peubah $x^1, \cdots, x^n \in \mathbb{R}$ secara $dx^i = {M^i}_jdq^j$ di mana ${M^i}_j := \partial x^i/\partial q^j$ untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.  Tentu saja,
\[ d^n\vec{r} = {M^1}_{i_1}\cdots{M^n}_{i_n}dq^{i_1}\wedge\cdots\wedge dq^{i_n} \]
\[ = {M^1}_{i_1}\cdots{M^n}_{i_n}\epsilon^{i_1\cdots i_n}dq^1\wedge\cdots\wedge dq^n \]
\[ = (\det{M})dq^1\wedge\cdots\wedge dq^n, \]
di mana $\epsilon$ adalah epsilon Levi-Civita.

Sekarang, mengingat $|d\vec{r}|^2$ (bahkan $d\vec{r}$) tidak bergantung pada pemilihan koordinat, maka
\[ g'_{ij}dx^idx^j = g_{kl}dq^kdq^l \]
di mana $\overset{\leftrightarrow}{g} := g'_{ij}\hat{x}_i\otimes\hat{x}_j = g_{kl}\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l$ adalah tensor metriks di titik $\vec{r}$.  Di sini, $\hat{x}_i$ adalah vektor basis alamiah, dan $\vec{e}_i$ adalah vektor basis kontravarian yang secara umum bergantung pada $q^1, \cdots, q^n$ untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.

Karena untuk basis alamiah Minkowskian, $g'_{ij} = \eta_{ij}$ yang merupakan komponen metriks Minkowskian, maka persamaan terakhir menjadi
\[ \eta_{ij}{M^i}_k{M^j}_ldq^kdq^l = g_{kl}dq^kdq^l \]
alias
\[ \eta_{ij}{M^i}_k{M^j}_l = g_{kl} \]
yang dapat ditulis dalam bentuk matriks menjadi
\[ M^{\text{T}}\eta M = G \]
di mana unsur ke-$ij$ dari matriks $M$, $\eta$, dan $G$ berturut-turut adalah ${M^i}_j$, $\eta_{ij}$, dan $g_{ij}$.  Tentu saja, dengan mengambil determinan pada kedua ruas persamaan terakhir, diperoleh
\[ (\det{M})^2\det\eta = g, \]
mengingat $\det(M^{\text{T}}) = \det M$, di mana $g := \det G$.  Karena $\det\eta$ pada umumnya adalah $-1$, maka
\[ \det{M} = \sqrt{-g} \]
dengan mengambil akar positifnya.

Dari persamaan sebelumnya, akhirnya diperoleh
\[ d^n\vec{r} = \sqrt{-g}\,dq^1\wedge\cdots\wedge dq^n. \]

Sayonara zetsubou sensei.