Gerak Tumbukan Satu-Dimensi

[cotrans]

Hosana in excelcis.

\section{Gerak Tumbukan Satu-Dimensi}

Andaikan pada garis riil $\mathbb{R}$ ada dua buah partikel klasik yang bergerak lurus beraturan.  Partikel pertama yang bermassa $m_1 \in \mathbb{R}^+$ menempati posisi $x_1 := x_{10} + v_{10}t$ pada waktu $t < T \in \mathbb{R}$.  Partikel kedua yang bermassa $m_2 \in \mathbb{R}^+$ menempati posisi $x_2 := x_{20} + v_{20}t$ pada waktu $t < T$ pula.  Besaran waktu $T$ ini akan didefinisikan kemudian.  Di sini, $x_{10}, v_{10} \in \mathbb{R}$ berturut-turut adalah posisi awal dan kecepatan awal partikel pertama, serta $x_{20}, v_{20} \in \mathbb{R}$ berturut-turut adalah posisi awal dan kecepatan awal partikel kedua.  Kedua partikel tersebut bertumbukan di titik $X \in \mathbb{R}$ pada waktu $T > 0$, sehingga
\[ x_{10} + v_{10}T = x_{20} + v_{20}T \]
alias
\[ T = \frac{x_{20} - x_{10}}{v_{10} - v_{20}}. \]
Oleh karena itu,
\[ X = x_{10} + v_{10}T = \frac{v_{10}x_{20} - v_{20}x_{10}}{v_{10} - v_{20}}. \]
Konstanta restitusi tumbukan $\epsilon \in \mathbb{R}$ didefinisikan sedemikian
\[ \epsilon(v_{20} - v_{10}) = V_1 - V_2 \]
di mana $V_1, V_2 \in \mathbb{R}$ berturut-turut adalah kecepatan partikel pertama dan kedua setelah tumbukan yang konstan.  Dari hukum kelestarian momentum linier, diperoleh
\[ m_1V_1 + m_2V_2 = m_1v_{10} + m_2v_{20}. \]
Penyelesaian dari kedua persamaan terakhir menghasilkan
\[ V_1 = \frac{(m_1 - \epsilon m_2)v_{10} + (1 + \epsilon)m_2v_{20}}{m_1 + m_2} \]
dan
\[ V_2 = \frac{(1 + \epsilon)m_1v_{10} + (m_2 - \epsilon m_1)v_{20}}{m_1 + m_2}. \]
Jadi, untuk seluruh $t \in \mathbb{R}$, posisi partikel pertama adalah
\[ X_1 = (x_{10} + v_{10}t)u(T - t) + [X + V_1(t - T)]u(t - T) \]
dan posisi partikel kedua adalah
\[ X_2 = (x_{20} + v_{20}t)u(T - t) + [X + V_2(t - T)]u(t - T), \]
di mana $u \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi undak satuan Heaviside sedemikian $u(x) = 1$ untuk $x > 0$, $u(x) = 0$ untuk $x < 0$, dan $u(0) = 1/2$.

Hosana in excelcis.