Mengubah Bentuk $\sqrt{p + \sqrt{q}}$ menjadi Bentuk $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

[cotrans]

Kula Nuwun.

\section{Mengubah Bentuk $\sqrt{p + \sqrt{q}}$ menjadi Bentuk $\sqrt{a} + \sqrt{b}$}

Misalkan $a, b, p, q \in \mathbb{C}$ adalah sebarang bilangan kompleks.  Tentu saja,
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}. \]
Agar bentuk dalam persamaan terakhir ini setara dengan $p + \sqrt{q}$, maka haruslah
\[ a + b = p ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ 4ab = q \]
sehingga $b = p - a$.  Otomatis,
\[ 4a(p - a) = q ~~~~~ \text{lalu} ~~~~~ 0 = 4a^2 - 4pa + q \]
sehingga (dengan menggunakan rumus abc) diperoleh
\[ a = \frac{p \pm \sqrt{p^2 - q}}{2}. \]
Karena $b = p - a$, maka
\[ b = \frac{p \mp \sqrt{p^2 - q}}{2}. \]
Oleh karena itu,
\[ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{p + \sqrt{q}} \]
alias
\[ \sqrt{p + \sqrt{q}} = \sqrt{\frac{p + \sqrt{p^2 - q}}{2}} + \sqrt{\frac{p - \sqrt{p^2 - q}}{2}}. \]
Inilah bentuk yang diharapkan.

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.