Pendiagonalan Matriks Persegi

[cotrans]

Om santi santi om.

\section{Pendiagonalan Matriks Persegi}

Andaikan ada matriks persegi $n\times n$ yang unsur-unsurnya adalah anggota lapangan $F$, yaitu $A \in ML(n, F)$.  Swa-nilai dari matriks $A$ tersebut misalnya adalah $\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in F$ yang memenuhi
\[ \det(A - \lambda_i1) = 0 \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $1 \in ML(n, F)$ adalah matriks identitas.  Swa-vektor dari $A$ relatif terhadap swa-nilai $\lambda_i$ adalah $v_i \in ML(n\times 1, F)$ yang memenuhi persamaan
\[ Av_i = \lambda_iv_i \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.  Andaikan ada matriks persegi $S \in ML(n, F)$ yang kolom ke-$i$-nya berisikan unsur-unsur dari matriks kolom $v_i$.  Andaikan ada matriks diagonal $D \in ML(n, F)$ yang unsur ke-$ii$-nya merupakan $\lambda_i$.  Oleh karena itu, diperoleh kesamaan
\[ AS = SD ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ S^{-1}AS = D \]
apabila $S$ memiliki invers.  Dengan demikian pendiagonalan matriks $A$ oleh matriks $S$ menghasilkan matriks $D$.

Nderek langkung.