Transformasi Lorentz untuk Perangkat $(\vec{u}, \gamma)$, $(\vec{p}, E)$, $(\vec

[cotrans]

Horas.

\section{Transformasi Lorentz untuk Perangkat $(\vec{u}, \gamma)$, $(\vec{p}, E)$, $(\vec{J}, \rho)$, dan $(\vec{k}, \omega)$}

Kita sudah mengenal transformasi Lorentz untuk perangkat posisi-waktu, yaitu
\[ d\vec{r}' = d\vec{r} + (\Gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}dt \]
dan
\[ dt' = \Gamma(dt - d\vec{r}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{r}' \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut kerangka acuan $O$, $\vec{r}' \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut kerangka acuan $O'$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $O'$ menurut $O$, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu menurut $O$, $t' \in \mathbb{R}$ adalah waktu menurut $O'$, $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$, dan $\Gamma := 1/\sqrt{1 - (|\vec{V}|/c)^2}$.  Di sini, $c$ adalah tetapan kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

Apabila $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan partikel menurut $O$ dan $\vec{v}' \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan partikel menurut $O'$, maka $\vec{u} := d\vec{r}/d\tau = \gamma\vec{v}$ adalah swa-kecepatan partikel menurut $O$ dan $\vec{u}' := d\vec{r}'/d\tau = \gamma'\vec{v}'$ adalah swa-kecepatan partikel menurut $O'$, di mana $\gamma := 1/\sqrt{1 - (|\vec{v}|/c)^2}$ dan $\gamma' := 1/\sqrt{1 - (|\vec{v}'|/c)^2}$.  Di sini, $\tau \in \mathbb{R}$ adalah swa-waktu milik partikel tersebut sedemikian $dt/d\tau = \gamma$ dan $dt'/d\tau = \gamma'$.  Oleh karena itu,
\[ \vec{u}' = \vec{u} + (\Gamma - 1)\vec{u}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}\gamma \]
dan
\[ \gamma' = \Gamma(\gamma - \vec{u}\cdot\vec{V}/c^2). \]

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan terakhir ini dengan massa rehat partikel, yaitu $m_0 \in \mathbb{R}^+$, serta dengan mengingat bahwa $\vec{p} := m\vec{v} = m_0\vec{u}$ adalah momentum partikel tersebut menurut $O$ dan $\vec{p}' := m'\vec{v}' = m_0\vec{u}'$ adalah momentum partikel menurut $O'$, di mana $m := m_0\gamma$ adalah massa relativistik partikel menurut $O$ dan $m' := m_0\gamma'$ adalah massa relativistik partikel menurut $O'$, maka diperoleh
\[ \vec{p}' = \vec{p} + (\Gamma - 1)\vec{p}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}E/c^2 \]
dan
\[ E' = \Gamma(E - \vec{p}\cdot\vec{V}), \]
di mana $E := mc^2$ adalah energi relativistik partikel menurut $O$ dan $E' := m'c^2$ adalah energi relativistik partikel menurut $O'$.

Karena $\vec{J} := \rho\vec{v} = \rho_0\vec{u}$ adalah rapat arus listrik menurut $O$ dan $\vec{J}' := \rho'\vec{v}' = \rho_0\vec{u}$ adalah rapat arus listrik menurut $O'$, serta $\rho := \gamma\rho_0$ adalah rapat muatan listrik menurut $O$ dan $\rho' := \gamma'\rho_0$ adalah rapat muatan listrik menurut $O'$, di mana $\rho_0 \in \mathbb{R}$ adalah swa-rapat muatan listrik, maka diperoleh
\[ \vec{J}' = \vec{J} + (\Gamma - 1)\vec{J}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}\rho \]
dan
\[ \rho' = \Gamma(\rho - \vec{J}\cdot\vec{V}/c^2). \]

Dari kaitan Planck, yaitu $\vec{p} = \hbar\vec{k}$, $\vec{p}' = \hbar\vec{k}'$, $E = \hbar\omega$, dan $E' = \hbar\omega'$, di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $\vec{k} \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor gelombang menurut $O$, $\vec{k}' \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor gelombang menurut $O'$, $\omega \in \mathbb{R}$ adalah frekuensi sudut gelombang menurut $O$, dan $\omega' \in \mathbb{R}$ adalah frekuensi sudut menurut $O'$, maka diperoleh
\[ \vec{k}' = \vec{k} + (\Gamma - 1)\vec{k}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}\omega/c^2 \]
dan
\[ \omega' = \Gamma(\omega - \vec{k}\cdot\vec{V}). \]

Sayonara zetsubou sensei.