Titik Bagi Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$

[cotrans]

Salam damai Kristus.

\section{Titik Bagi Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$}

Titik bagi suatu segitiga merupakan perpotongan sekurang-kurangnya dua dari tiga buah garis bagi segitiga tersebut.

Misalnya, ketiga titik sudut dari segitiga tersebut adalah $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \in \mathbb{R}^n$.  Titik bagi dari segitiga tersebut akan dimisalkan sebagai $\vec{S} \in \mathbb{R}^n$ sedemikian rupa sehingga
\[ \vec{S} = \vec{A} + a\hat{c}(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) \]
dan
\[ \vec{S} = \vec{B} + b\hat{c}(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$ adalah parameternya, serta
\[ \hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) := \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} + \frac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}}{|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} \]
untuk setiap $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^n$.

Oleh karena itu, kita peroleh
\[ A_1 + ac_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) = B_1 + bc_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \]
dan
\[ A_2 + ac_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) = B_2 + bc_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \]
yang apabila kedua persamaan terakhir ini disusun dalam bentuk matriks, menghasilkan
\[ \begin{pmatrix} c_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & -c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ c_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & -c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_1 - A_1 \\ B_2 - A_2 \end{pmatrix} \]
yang dengan aturan Cramer, diperoleh
\[ a = \frac{\begin{vmatrix} B_1 - A_1 & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ B_2 - A_2 & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} c_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ c_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}} \]
sehingga
\[ \vec{S} = \vec{A} + \frac{\begin{vmatrix} B_1 - A_1 & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ B_2 - A_2 & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} c_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ c_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}}\hat{c}(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}). \]
Inilah titik bagi yang dimaksud.

Gloria in excelsis Deo.