1
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 12, 2025, 06:16:34 PM »
2
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 30, 2025, 01:59:08 PM »
\section{Mekanika Kuantum yang Tidak Mengistimewakan Partikel Tertentu}
Dalam fisika atom, kita mempelajari bagaimana elektron-elektron bersifat probabilistik yang berwujud gelombang probabilistik awan-awan elektron terhadap tenaga potensial listrik Coulomb dengan inti atom sebagai sumber potensial listrik Coulomb. Gerak dari gelombang probabilistik awan-awan elektron tersebut diatur oleh persamaan gerak gelombang Schr\"odinger. Ini dapat dibenarkan, tetapi ini masih mengistimewakan inti atom yang terletak pada posisi yang bersifat pasti (tidak probabilistik), serta masih mengistimewakan elektron yang terletak pada posisi yang bersifat probabilistik (tidak pasti). Bagaimana apabila kita ingin membangun mekanika kuantum yang tidak mengistimewakan partikel tertentu? Mungkinkah? Ini tentu saja dapat dilakukan. Contohnya adalah sebagai berikut.
Andaikan di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ hanya ada dua partikel bermuatan listrik $q_1, q_2 \in \mathbb{R}$ yang berturut-turut bermassa $m_1, m_2 \in \mathbb{R}^+$ yang berturut-turut terletak di posisi probabilistik $\vec{r}_1, \vec{r}_2 \in \mathbb{R}^3$. Kedua partikel ini berinteraksi listrik Coulomb. Bagaimana persamaan gelombang kebolehjadian dari kedua partikel tersebut? Peluang keberadaan kedua partikel tersebut di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ tersebut diwakili oleh fungsi gelombang kebolehjadian
\[ \Psi \,:\, \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{R} \to \mathbb{C} \,:\, (\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) \mapsto \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) \]
yang memenuhi persamaan Schr\"odinger
\[ -\frac{1}{2}\hbar^2\left( \frac{1}{m_1}\nabla_1^2 + \frac{1}{m_2}\nabla_2^2 \right)\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) + \frac{q_1 q_2}{2\pi\epsilon_0|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t) \]
dengan $\nabla_1 := \partial/\partial\vec{r}_1$ dan $\nabla_2 := \partial/\partial\vec{r}_2$ serta $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu. Di sini, $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa. Penyelesaian dari persamaan Schr\"odinger tersebut menghasilkan $\Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, t)$ yang memuat segala informasi fisis terkait segala besaran-besaran fisis yang dimiliki oleh kedua partikel tersebut.
3
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 05, 2025, 11:13:30 AM »
4
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 05, 2025, 11:11:54 AM »
5
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 17, 2024, 09:25:38 AM »
\section{Membalik Persamaan}
Andaikan $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang pemetaan yang kontinyu. Persamaan $y = f(x)$ dapat dibalik dengan menyatakan $x$ dalam $f$ dan $y$, yaitu bahwa $x = f^{-1}(y)$ di mana $f^{-1}(y)$ adalah pra-bayangan dari $y$ terhadap $f$, serta $x$ tidak harus tunggal.
Andaikan kali ini $f, g \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang dua buah pemetaan yang kontinyu, serta $\alpha \in \mathbb{R}$ adalah sebarang tetapan. Pemetaan-pemetaan $f\circ g$, $fg$, $(f, g)$, dan $\alpha f$ didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ (f\circ g)(x) = f(g(x)), \]
\[ (fg)(x) = f(x)g(x), \]
\[ (f, g)(x) = (f(x), g(x)), \]
serta
\[ (\alpha f)(x) = \alpha f(x) \]
untuk semua $x \in \mathbb{R}$.
Pemetaan $c_1, \operatorname{id} \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ hendak didefinisikan sedemikian rupa sehingga
\[ c_1(x) = 1 \]
dan
\[ \operatorname{id}(x) = x \]
untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.
Andaikan kali ini $f \,:\, \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah sebarang pemetaan dengan dua buah valensi. Persamaan $z = f(x, y)$ dapat dibalik, misalnya, dengan menyatakan $x$ dalam $f$, $y$, dan $z$. Untuk membaliknya, akan dilakukan prosedur sebagai berikut.
\[ z = f(x, y). \]
\[ z = f(\operatorname{id}(x), yc_1(x)). \]
\[ z = f((\operatorname{id}, yc_1)(x)). \]
\[ z = [f\circ(\operatorname{id}, yc_1)](x). \]
\[ x = [f\circ(\operatorname{id}, yc_1)]^{-1}(z). \]
Dengan demikian $x$ sudah dinyatakan dalam $f$, $y$, dan $z$ di mana $x$ tidak harus tunggal. Inilah contoh sederhana dari pembalikan persamaan tersebut. Pembaca dapat mengembangkan sendiri konsep ini dengan cara membuat kasus yang lebih umum untuk persamaan-persamaan yang mengandung pemetaan kontinyu bervalensi lebih dari dua.
6
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 12, 2023, 08:56:13 PM »
7
« Tulisan terakhir by O Ik pada Desember 16, 2022, 11:25:09 PM »
Pada zaman dahulu, ada paus yang nge-seks di atas altar. Benar-benar menodai Gereja yang kudus saja.
8
« Tulisan terakhir by cotrans pada Oktober 07, 2022, 04:51:46 PM »
\section{Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus}
Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa
\[ \int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a) \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$, $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi kontinyu, dan $f'$ adalah turunan pertama dari $f$.
Karena
\[ \int_a^b f(x)dx := \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}, \]
maka
\[ I := \int_a^b f'(x)dx \]
alias
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f'\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \lim_{\epsilon \to 0}\frac{f\left(a + j\frac{b - a}{n} + \epsilon\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\epsilon}\frac{b - a}{\epsilon}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \frac{f\left(a + (j + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\frac{b - a}{n}}\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\left[f\left(a + (n + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f(a)\right]. \]
\[ I = f(b) - f(a). \]
9
« Tulisan terakhir by cotrans pada Oktober 01, 2022, 10:32:53 PM »
Gereja adalah Tubuh Kristus itu sendiri. Pemimpin Gereja itu tidak lain adalah Tuhan Yesus Kristus yang adalah Satu-Satu-Nya Allah Tuhan Yang Maha Esa. Gereja itu terdiri dari Gereja Katolik, Gereja Ortodoks, Gereja Unitarian, dan Gereja Protestan. Pengikut Kristus itu sering disebut Kristen. Gereja Katolik adalah Gereja yang tertua dan pertama yang didirikan langsung oleh Tuhan Yesus Kristus melalui takhta Santo Petrus. Adalah salah kaprah apabila kita mengatakan bahwa Katolik itu bukan Kristen, sebab Gereja Katolik merupakan Kristen pertama. Di Indonesia, kata "Kristen" lebih cenderung dimaknai oleh orang awam sebagai Protestan. Ini salah besar, sebab Protestan itu hanyalah salah satu dari Kristen di samping Katolik, Ortodoks, dan Unitarian. Oleh oknum-oknum yang tidak bertanggung jawab, kata "Kristen" kerap kali diplesetkan dan disalah artikan untuk mengacu kepada Protestan. Padahal, sekali lagi, ini salah besar. Yang benar adalah bahwa agama Kristen itu meliputi Katolik, Ortodoks, Unitarian, dan Protestan. Mula-mula, Gereja itu hanya satu, yaitu Gereja Katolik saja. Kemudian, pada akhirnya, Gereja Katolik terpecah menjadi Gereja Ortodoks, Gereja Unitarian, dan Gereja Protestan. Tentu saja, sebagian dari ajaran-ajaran dan tata-ibadah Gereja Katolik dibawa dan ditiru oleh Gereja Ortodoks, Gereja Unitarian, dan Gereja Protestan, walau tidak semuanya. Sebagai orang Katolik, kita jangan mau dibodoh-bodohi oleh oknum yang tidak bertanggung jawab.
10
« Tulisan terakhir by cotrans pada September 10, 2022, 06:53:23 PM »
\section{Gerak Melingkar di $\mathbb{R}^2$}
Misalkan ada sebuah partikel yang bergerak melingkar di $\mathbb{R}^2$ dengan posisi
\[ \vec{r} = l(\hat{x}\sin\theta - \hat{y}\cos\theta) \]
di mana $l$ adalah jari-jari lintasan gerak melingkar yang konstan, $\hat{x} := (1, 0)$, $\hat{y} := (0, 1)$, dan $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut putar yang bergantung pada waktu $t \in \mathbb{R}$. Tentu saja, kecepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{v} = \dot{\vec{r}} = l\dot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) \]
dan percepatan partikel tersebut adalah
\[ \vec{a} := \dot{\vec{v}} = l\ddot{\theta}(\hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta) + l\dot{\theta}^2(-\hat{x}\sin\theta + \hat{y}\cos\theta) \]
\[ = l[\hat{x}(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta) + \hat{y}(\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)]. \]
Di sini didefinisikan $\dot{Q} := dQ/dt$ dan $\ddot{Q} := d\dot{Q}/dt$ untuk sebarang besaran $Q$.
Vektor satuan yang searah $\vec{v}$ adalah
\[ \hat{v} := \vec{v}/|\vec{v}| = \hat{x}\cos\theta + \hat{y}\sin\theta. \]
Kuadrat besar percepatannya adalah
\[ |\vec{a}|^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta) + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \dot{\theta}^4\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)] \]
\[ = l^2(\ddot{\theta}^2 + \dot{\theta}^4). \]
Percepatan tangensialnya adalah
\[ \vec{a}_{//} := \vec{a}\cdot\hat{v}\hat{v} \]
sedangkan percepatan sentripetalnya adalah
\[ \vec{a}_\bot := \vec{a} - \vec{a}_{//}. \]
Tentu saja,
\[ \vec{a}\cdot\hat{v} = l[(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta)\cos\theta + (\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\sin\theta] \]
sehingga
\[ (\vec{a}\cdot\hat{v})^2 = l^2[(\ddot{\theta}^2\cos^2\theta + \dot{\theta}^4\sin^2\theta - 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta)\cos^2\theta \]
\[ + (\ddot{\theta}^2\sin^2\theta + \ddot{\theta}^2\cos^2\theta + 2\ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta)\sin^2\theta \]
\[ + 2(\ddot{\theta}^2\cos\theta\sin\theta + \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\cos^2\theta - \ddot{\theta}\dot{\theta}^2\sin^2\theta - \dot{\theta}^4\sin\theta\cos\theta)\cos\theta\sin\theta] \]
\[ = l^2[\ddot{\theta}^2(1 - 2\sin^2\theta + \sin^4\theta) + \ddot{\theta}^2\sin^4\theta + 2\ddot{\theta}^2\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta)] = l^2\ddot{\theta}^2 \]
alias
\[ |\vec{a}_{//}| = l|\ddot{\theta}| = |\alpha|R \]
di mana $\alpha := \ddot{\theta}$ adalah percepatan sudutnya dan $R := l$. Selanjutnya,
\[ |\vec{a}_\bot|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}_{//}|^2 = l^2\dot{\theta}^4 \]
alias
\[ |\vec{a}_\bot| = l|\dot{\theta}|^2 = \omega^2R \]
di mana $\omega := \dot{\theta}$.
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 03:13:05 AM
Tulisan Terbaru